ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.10.2024
Просмотров: 80
Скачиваний: 0
А. В. П О ГО РЕЛ О В
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, СТЕРЕОТИПНОЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
М О С К В А 1974
513
П 43
УДК 513.0
_ J V _ _
J / 3 £ ?
Зта книга представляет собой существенную переработку двух вышедших ранее книг этого же автора «Планиметрия» (1969) и «Стереометрия» (1970). Прежде всего, несколько усилена аксиома тика. Соответственно изложение приняло форму, допускающую использование в школьном препода вании. Улучшены и упрощены многие доказатель
ства; вопрос об |
измерении площадей изложен |
|
в форме, близкой к традиционной. |
Более компактно |
|
изложены начала |
стереометрии. |
Улучшено изло |
жение вопроса о площади поверхности. Параграфы теперь заканчиваются многочислен
ными вопросами для повторения, контролирую- 4 щими прохождение курса, и упражнениями.
После переработки книга может Сыть рекомен дована не только студентам педвузов и учителям, но также и учащимся средних школ.
Алексей Васильевич Погорелое
Элементарная геометрия М., 1974 г., 208 стр. с нлл.
Редактор А. Ф. Лапко
Те.\н. редактор К. Ф. Брудно
Корректор И. Д. Дорохова
Печать с |
матриц. |
Подписано к |
печати 24/XII 1973 г. |
Бумага 84Х1081/з2 |
|
Тип. № 2. |
Фпз. печ. л. 6,5. |
Условн. печ. л. 10,92. |
Уч.-нзд. |
л. 11,60. |
|
Тираж 200 000 экз. (1 завод 100 000 экз.) Цена книги 32 коп. Заказ G6. |
|
||||
Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени Первая Образцовая типография имени А. А. ХСданова
Главполнграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР
Москва. М-54, Валовая, 28 Отпечатано во 2-ой тип. нзд-ва «Наука», Шубннскнй пер., дом 10.
20202—019
П------------- 31-74 053(01)-74
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие для учителей
П Л О Т Ь П Е Р В А Я
ПЛАНИМЕТРИЯ
§1. Основные свойства простейших геометрических фигур . . 16
|
|
Точка н прямая (16). |
Основные |
свойства принадлежности |
точек |
|
|||||||||
|
|
и прямых на плоскости (16). Основные |
свойства взаимного распо |
|
|||||||||||
|
|
ложения точек на прямой н на плоскости (17). Основные свойства |
|
||||||||||||
|
|
измерения отрезков и углов |
(19). Основные свойства откладывания |
|
|||||||||||
|
|
отрезков п углов (21). Первый |
признак равенства треугольников |
|
|||||||||||
|
|
(22). Основное свойство параллельных |
прямых |
(23). Вопросы |
|
||||||||||
|
|
для повторения н |
упражнения |
(23). |
|
|
|
|
|
||||||
§ |
2. |
О том, |
как в геометрии изучают свойства ф и г у р ................. |
|
25 |
||||||||||
|
|
Аксиомы, теоремы |
н |
доказательства (25). Расположение углов, |
|
||||||||||
|
|
отложенных |
в одну полуплоскость |
(26). |
Разделение сторон |
угла |
|
||||||||
|
|
прямой |
(27). |
Вопросы |
для повторения |
(28). Упражнения |
(28). |
|
|||||||
§ |
3. |
У глы ....................................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29 |
|
|
Смежные |
углы |
(29). |
Вертикальные |
углы (29). |
Прямой |
угол. |
|
||||||
|
|
Перпендикулярные |
прямые |
(30). |
Вопросы для повторения |
(30). |
|
||||||||
|
|
Упражнения |
(31). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
§ |
4. |
Равенство |
треугольников . ........................................................ |
31 |
|||||||||||
Второй признак равенства треугольников (31). Равнобедренный треугольник (32). Медиана, биссектриса н высота (33). Третий признак равенства треугольников (33). Вопросы для повторения
(34). Упражнения (35).
§ 5. Соотношения между углами и сторонами треугольника . . 35
Соотношения между углами треугольника (35). Соотношение между углами треугольника и противолежащими нм сторонами (36). Соотношения между сторонами треугольника (37). Неравен
ство треугольника (37). Вопросы для повторения (39). Упраж нения (39)
§ 6. Прямоугольные треугольники.................................................... |
39 |
Углы н стороны прямоугольного треугольника (39). Равенство прямоугольных треугольников (40). Перпендикуляр и наклонная (41). Вопросы для повторения (43). Упражнения (43).
1 |
3 |
§ |
7. |
Геометрические построения |
.................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
44 |
||||||||||
|
|
Что |
такое |
|
задачи |
на |
построение |
(44). |
Построение |
треугольника |
|
||||||||||||
|
|
с данными |
сторонами |
|
(44). |
Построение угла, равного данному |
|
||||||||||||||||
|
|
(45). Деление угла |
пополам |
(45). Деление отрезка пополам (46). |
|
||||||||||||||||||
|
|
Построение |
|
перпендикуляра |
(46). |
Геометрическое |
место |
точек |
|
||||||||||||||
|
|
(47). Метод |
|
геометрических |
мест |
(48). |
Вопросы для повторения |
|
|||||||||||||||
|
|
(50). |
Упражнения 150). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
§ |
8. |
Параллельные прямые..................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
||||||||
|
|
Признаки |
параллельности |
прямых |
|
(50). Сумма углов треуголь |
|
||||||||||||||||
|
|
ника |
(52). |
Параллельные, |
'как |
равноотстоящие |
прямые |
(53) |
|
||||||||||||||
|
|
Вопросы для повторения (54). |
Упражнения |
(55). |
|
|
|
|
|||||||||||||||
§ |
9. |
Четырехугольники........................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
55 |
|||||||
|
|
Выпуклые четырехугольники (55). Параллелограмм (57). |
Пря |
|
|||||||||||||||||||
|
|
моугольник. |
Ромб. |
Квадрат (58). Трапеция (59). Точка пересече |
|
||||||||||||||||||
|
|
ния |
медиан |
|
треугольника |
(61). Вопросы |
для |
повторения |
(62) |
|
|||||||||||||
|
|
Упражнения |
(63) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
§ |
10. |
Движения. Равенство ф игур ......................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G3 |
|||||||||||
|
|
Понятие движения (63). Свойства |
движения (64). Симметрия отно |
|
|||||||||||||||||||
|
|
сительно |
прямой |
(65). Симметрия относительно точки (66). Парал |
|
||||||||||||||||||
|
|
лельный перенос (67). Поворот (69). Вопросы для |
повторения |
(70). |
|
||||||||||||||||||
|
|
Упражнения |
(70). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
§11. |
О кружность......................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
71 |
|||||
|
|
Простейшие свойства |
окружности |
|
(71). Центральные углы |
(73). |
|
||||||||||||||||
|
|
Впнсапные |
углы |
(73). |
Вписанная н |
описанная окружности |
(76). |
|
|||||||||||||||
|
|
Вопросы для повторения (78). |
Упражнения |
(78) |
|
|
|
|
|||||||||||||||
§ |
12. |
Подобие треугольников................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
79 |
|||||||||
|
|
Основной |
признак подобия треугольников |
(79). Другие признаки |
|
||||||||||||||||||
|
|
подобия |
треугольников (81) |
Пропорциональные отрезки в тре |
|
||||||||||||||||||
|
|
угольнике |
(82). |
Пропорциональность отрезков |
хорд и секущих |
|
|||||||||||||||||
|
|
(83). |
Пересечение |
прямоЛ |
|
с окружностью (84). Две задачи |
на |
|
|||||||||||||||
|
|
построение |
(85). |
Подобие |
фигур. |
Гомотетия |
(86). |
Вопросы |
для |
|
|||||||||||||
|
|
повторения (87). Упражнения (88). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
§ |
13. Теорема |
Пифагора |
и ее применения......................................... |
|
|
|
|
|
89 |
||||||||||||||
|
|
Теорема Пифагора |
(89). Соотношения |
в |
косоугольном треуголь |
|
|||||||||||||||||
|
|
нике (89). Соотношение |
между диагоналями и сторонами паралле |
|
|||||||||||||||||||
|
|
лограмма (91). Существование |
треугольника сданными сторонами |
|
|||||||||||||||||||
|
|
(92). Взаимное расположение |
двух |
окружностей (93). Некоторые |
|
||||||||||||||||||
|
|
задачи (95). |
Вопросы |
|
для |
|
повторения |
|
(96). Упражнения |
(96). |
|
||||||||||||
§ |
14. |
Тригонометрические функции у гл о в |
......................................... |
|
|
|
|
|
97 |
||||||||||||||
|
|
Определение тригонометрических функций (97). Формулы |
при |
|
|||||||||||||||||||
|
|
ведения (98). Соотношения |
между |
сторонами |
и углами в |
пря |
|
||||||||||||||||
|
|
моугольном треугольнике (99). Теорема косинусов (100). Теорема |
|
||||||||||||||||||||
|
|
синусов (101). Вопросы для |
повторения |
и упражнения (102). |
|
||||||||||||||||||
§ |
15. |
Многоугольники . . ..................................................................... |
103 |
||||||||||||||||||||
|
|
Выпуклые многоугольники (103). Сумма углов выпуклого много |
|
||||||||||||||||||||
|
|
угольника (104). Пополненный многоугольник. Выпуклая лома |
|
||||||||||||||||||||
|
|
ная (1 05). Правильные |
многоугольники |
(107). Вписанные и опи |
|
||||||||||||||||||
|
|
санные многоугольники (108). Подобные многоугольники |
009). |
|
|||||||||||||||||||
|
|
Вопросы для повторения и упражнения |
(III). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
§ |
16. |
Площади |
|
ф и г у р ............................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
111 |
||||
Понятие площади (11 1). Площадь прямоугольника (112). Площади простейших фигур (114). Независимость площади простой фигуры от способа ее разбиения на треугольники (11 5). Площади подобных фигур (119). Вопросы для повторения и упражнения (119).
4
§ 17. |
Длина окружности. Площадь к р у га ......................................... |
120 |
||||
|
|
Длина окружности (120). Длина дуги окружности. Радианная |
|
|||
|
|
мера угла (122). Площадь круга н его частей (124). Вопросы для |
|
|||
|
|
повторения |
н упражнения |
(126). |
|
|
Ч А С Т Ь В Т О Р А Я |
|
|
||||
СТЕРЕОМЕТРИЯ |
|
|
||||
§ |
18. |
Аксиомы стереометрии и некоторые их следствия................. |
127 |
|||
|
|
Некоторые следствия аксиом стереометрии (128). Разбиение прост |
|
|||
|
|
ранства |
плоскостью на два |
полупространства (129). Замечание |
|
|
|
|
к аксиоме lt |
(130). Упражнения (131). |
|
||
§ |
19. |
Параллельность прямых |
и плоскостей.................................. |
131 |
||
|
|
Параллельные прямые в пространстве (131). Параллельность |
|
|||
|
|
прямой и плоскости (133). Параллельность плоскостей (134). От |
|
|||
|
|
резки параллельных прямых между параллельными плоскостями |
|
|||
|
|
(136). Скрещивающиеся прямые (136). Упражнения (136). |
|
|||
§ |
20. |
Перпендикулярность прямых и плоскостей.......................... |
137 |
|||
|
|
Перпендикулярность прямых (137). Перпендикулярность прямой |
|
|||
|
|
и плоскости (138). Свойства перпендикулярности прямой и плоско |
|
|||
|
|
сти (140). Построение перпендикулярной плоскости и прямой (141). |
|
|||
|
|
Перпендикуляр н наклонная (142). перпендикулярность плоскостей |
|
|||
|
|
(144). Упражнения (146). |
|
|
||
§ 21. |
Углы между прямыми и плоскостями....................................... |
147 |
||||
|
|
Угол между прямыми (147). Угол между прямой н плоскостью |
|
|||
|
|
(148). Угол между плоскостями (150). Упражнения (151). |
|
|||
§ |
22. |
Двугранные, трехгранные и многогранные у г л ы ................. |
152 |
|||
|
|
Определение двугранного и трехгранного угла (152). Теорема |
|
|||
|
|
косинусов для трехгранного угла (153). Трехгранный угол, поляр |
|
|||
|
|
ный данному трехгранному углу (154). Теорема синусов для трех- |
|
|||
|
|
граниого угла (155). Неравенство для плоских углов трехгранного |
|
|||
|
|
угла (156). Многогранные углы (156). Упражнения (157). |
|
|||
§ 23. |
Движение |
и другие преобразования в пространстве . . . |
157 |
|||
|
|
Движение и его свойства (157). Симметрия относительно плоскости |
|
|||
|
|
и точки |
(158). Параллельный перенос н поворот в пространстве |
|
||
|
|
(160). Преобразование подобия и гомотетия в пространстве (161). |
|
|||
|
|
Проектирование плоскости на плоскость (161). Упражнения (162). |
|
|||
§ 24. |
Многогранники................................................................................... |
|
163 |
|||
|
|
Геометрическое тело (163). Призма (164). Параллелепипед (165). |
|
|||
|
|
Пирамида (166). Правильные многогранники (168). Упражнения |
|
|||
|
(170) |
|
|
|
|
|
§ |
25. |
Элементы проекционного |
черчения........................................... |
170 |
||
|
|
Изображение точки на эпюре (170). Задачи на прямую (171). Опреде |
|
|||
|
|
ление Длины отрезка (172). Задачи на прямую ц плоскость (173). |
|
|||
|
|
Упражнения |
(175). |
|
|
|
§ |
26. |
Объемы простых т е л ......................................................................... |
|
175 |
||
|
|
Понятие объема (175). Объем прямоугольного параллелепипеда |
|
|||
|
|
(176). Объем |
наклонного параллелепипеда (177). Объем призмы |
|
||
(178). Объем пирамиды (1-79). Объемы подобных тел (181). Кор ректность определения объема простых тел (182). Упражнения (185).
5
I
§ 27. |
Тела вращения................................................................................... |
|
186 |
|
Цилиндр (18G). Конус (188). Шар (180). Упражнения (192). |
|
|
§ 28. Объемы тел вращения..................................................................... |
|
193 |
|
|
Общее определение объема (193). Объем цилиндра (19Б). Объем |
|
|
|
конуса (196). Объем шара |
(197). |
|
§ 29. |
Площади поверхностей |
вращ ения........................................... |
201 |
|
Понятие площади выпукло!) поверхности (201). Площадь сферы |
|
|
|
(202). Площадь сферического сегмента (20 3). Боковая поверхность |
|
|
|
цилиндра (204). Боковая поверхность конуса (204). |
|
|
§ 30. |
Некоторые сведения из |
истории геометрии.......................... |
205 |
"N
ПРЕДИСЛОВИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ
Преподавание геометрии в школе имеет целью не только сообщать учащимся геометрические результаты, но также научить их: методу, при помощи которого эти результаты получаются. Как известно, геометрические результаты (теоремы) получаются путем логических рассуждений (до казательств) из некоторых отправных положений (аксиом). Логические рассуждения являются необходимой частью всякого познания. Геометрия отличается ясностью и про стотой как в формулировке результата, так и в тех исходных положениях, из которых этот результат должен быть полу чен. Поэтому геометрия дает нам лучшие возможности для развития логического мышления в школе.
Предлагая настоящий курс, мы исходили из того, что главная задача преподавания геометрии в школе — научить учащегося логически рассуждать, аргументировать свои утверждения, доказывать. Очень немногие из оканчиваю щих школу будут математиками, тем более геометрами. Будут и такие, которые в их практической деятельности ни разу не воспользуются теоремой Пифагора. Однако вряд ли найдется хотя бы один, которому не придется рассуждать, анализировать, доказывать.
Весь многовековой опыт преподавания элементарной гео метрии со времен Евклида доказывает рациональность тра диционной системы. Ее совершенствование, связанное с об щим развитием науки, нам кажется, не должно касаться ее разумных и глубоко продуманных основ. Поэтому пред лагаемый курс, в основном традиционный, отличается только более строгим изложением предмета и некоторой переоцен кой значения его отдельных частей.
В основе предлагаемого курса геометрии лежит весьма немногочисленная система геометрических фактов, хорошо знакомых учащемуся и закрепленных в начальных классах
7