Файл: Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.10.2024
Просмотров: 111
Скачиваний: 0
20 |
ВВЕДЕНИЕ |
[ГЛ. I |
Т е о р е м а 7. |
Если функция F (р) |
|
плоскости Rep > |
а, стремится |
к |
в любой полуплоскости Re р ^ с > |
а |
|
тельно arg р и интеграл |
|
|
С - f /оо
аналитична в полу нулю при р ! -> оэ равномерно относи
$ /ЧрМ р |
(1.3.7) |
с — /со
абсолютно сходится, то F (р) являетсяизображением функции
c-j-/co |
|
$ F(p)eptdp, |
(1.3.8) |
с— /оо
m.е. может быть представлена сходящимся интегралом Лапласа
F{p) = \ e* f ( t ) d t
о
для Rе р > с , при з/лсш интеграл Лапласа сходится абсо лютно.
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Возьмем некоторое |
число р0 |
|||||
такое, |
что Rep0> c ; |
тогда |
из |
(1.3.8) следует |
|
||
ОО |
|
|
СО |
/С - f- /оо |
\ |
|
|
jj е-Ро'/ (/) dt = |
^ |
|
^ |
(р) г/р | Л . |
(1.3.9) |
||
Рассмотрим |
внутренний интеграл. |
В нем p = c-\-iy, dp = |
|||||
= idy, |
следовательно, |
его |
можно |
переписать в виде |
|||
|
с-Ь /оо |
|
00 |
|
|
|
|
|
|
5 eptF (р) dp = iea |
$ e,ytF (c + iy) dy. |
|
|||
|
c — /со |
|
—00 |
|
|
||
Оценим последний интеграл: |
|
|
|
||||
|
5 |
eip,F(c+iy) dy |
$ |
| F(c + iy)\dy. |
(1.3.10) |
||
В силу условий теоремы интеграл (1.3.7) сходится аб солютно, поэтому интеграл в левой части неравенства (1.3.10) сходится равномерно относительно t, и, следо вательно, в формуле (1.3.9) можно изменить порядок
§ 1.31 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ИНТЕГРАЛОМ ЛАПЛАСА 21
интегрирования:
|
c -f ~ / c o |
|
|
5 в - р°7 (О dt = i |
S f (p ) dP 5 e(p~ po)‘ dt — |
|
|
|
c + |
/с о |
|
|
= ~ s |
$ |
(1.3.11) |
причем последнее равенство верно, так как внутренний интеграл сходится в силу того, что Re (р — р0) < 0 и t > 0.
Рассмотрим дугу С«: |
] р | = R, |
Re р > с. В силу условий |
теоремы на этой дуге |
max | Z7 (р) j = а ^ - ^ 0 п р и ^ -> -о о , |
|
следовательно, |
|
|
П р ) |
dp |
т Л/?, |
Р~Ро |
|
Ро |
и этот интеграл стремится к нулю при R -^oo. Отсюда следует, что прямую интегрирования в (1.3.11) можно
заменить замкнутым контуром С%, составленным из дуги C'r и отрезка [c+ib, c — ib], проходимого сверху вниз. Тогда формулу (1.3.11) можно записать в виде
|
с |
fo,) dp. |
( 1. 3. 12) |
Ь |
) |
Р — Ро |
|
|
|
|
Знак минус мы опустили, так как поменяли направление движения по прямой. Интеграл в правой части формулы (1.3.12) вычислим, применяя теорему о вычетах. Функция
■^р р внутри контура С%имеет только одну особую точку—
полюс |
первого порядка |
в точке р = р0. Вычет |
ее |
в этой |
||
точке можно вычислить по формуле (1.3.6), |
он |
будет |
||||
равен F (р0). |
Тогда |
по формуле (1.3.3) найдем |
|
|
||
|
|
^ |
е~ pdf (t) dt — F (р0). |
(1.3.13) |
||
|
|
о |
|
|
|
|
А так |
как |
р„ — любая точка полуплоскости R e p > c , то |
||||
из (1.3.13) |
следует, |
что F (р) представляется сходящимся |
||||
интегралом Лапласа |
для |
всех р, для которых |
Re р > с. |
|||
Позже мы покажем, что этот интеграл будет и абсолютно сходящимся.
22 |
ВВЕДЕНИЕ |
[ГЛ. I |
Покажем теперь, что если выполнены условия теоремы, то функция f(t), представленная интегралом (1.3.8), будет обладать вторым свойством определения оригинала. В самом деле, при ^ < 0 по лемме Жордана
lim \ eptF (р) dp = О,
Д->со •>
CR
следовательно, прямую интегрирования в формуле (1.3.8)
можно заменить контуром С^, который был определен выше. Тогда при / < 0 по теореме Коши получим
/(0 = 2я1! \) ePtF(p)dp = О,
CR
так как подынтегральная функция аналитична внутри С%. Значит, свойство 2) для / выполняется. Покажем, кроме того, что для функции f выполняется условие вида (1.1.3)
при а — с. Действительно, |
из |
(1.3.8) следует |
|||
|
с-\- ico |
|
|
|
|
1 /(0 1 = |
ш |
\ e’‘F ^ |
dP |
« |
|
|
с — гоо |
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$ |
\F(c + iy)\dy = MeC‘, (1.3.14) |
|
так что неравенство (1.1.3) выполняется. |
|||||
Теперь вернемся к |
интегралу (1.3.13) и покажем, что |
||||
он абсолютно |
сходится. |
В самом деле, пусть р0 = xQ-\- iy0\ |
|||
тогда в |
силу |
(1.3.14) и того, |
что х0> с , |
||
|
со |
|
|
‘со |
|
|
^ | e - P » 0 ( 0 ! ^ < M \ |
e~ {Xo~ c)tdt = ^ r c. |
|||
|
о |
|
|
о |
0 |
§ 1.4. Некорректность задачи обращения преобразования Лапласа
Задачу восстановления оригинала / (/) по операторному изображению F (р) можно рассматривать как задачу реше ния интегрального уравнения первого порядка
СО |
|
5 e~ptf (t) dt = F (р), |
(1.4.1) |
О
§ 1.4] |
НЕКОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧИ ОБРАЩЕНИЯ |
23 |
которая |
относится к классу задач, получивших |
название |
некорректных. Эти задачи характеризуются двумя свойст вами, сильно затрудняющими их решение: они разрешимы не при всех значениях числовых или функциональных параметров, определяющих их решение, и малым измене ниям этих параметров может отвечать большое изменение решения (о неустойчивости задачи говорилось в предисло вии, и здесь мы вынуждены отчасти повторить уже ска занное там). Поясним более подробно эти свойства для задачи обращения преобразования Лапласа и для соот ветствующего ей интегрального уравнения.
Для определенности рассмотрим случай, когда изобра жение F (р) известно на действительной полуоси р > а и аргумент р есть действительная переменная. Уравнение (1.4.1) имеет решение не при всяких функциях F (р),
непрерывных или даже |
гладких для р > а . В частности, |
оно неразрешимо, если F (р) не является аналитической |
|
функцией при р > а . |
Предположим теперь, что F (р) |
является изображением некоторой функции / и уравнение (1.4.1) будет, следовательно, разрешимым. Заменим функ цию f(t) некоторой другой функцией fi(t), отличающейся от f (t) возмущением, имеющим большую величину на дос таточно малом участке, и совпадающей с f(t) на остальной части полуоси [0, оо). Новому оригиналу /у будет отвечать изображение Fx (р), мало отличающееся от F (р) при вся ких р > а. Таким образом, малому изменению правой части уравнения (1.4.1) может соответствовать сколь угодно большое изменение решения / в равномерной метрике. Можно показать, что аналогичное будет иметь место и в других метриках.
Некорректность проблемы решения уравнения (1.4.1), которая равносильна обращению преобразования Лапласа, может затруднить численное решение, но не делает его невозможным. К решению уравнения (1.4.1) могут быть применены методы регуляризации решения, разработанные А. Н. Тихоновым, В. К. Ивановым и другими авторами. Мы не будем останавливаться на изложении этих методов.