Файл: Крутецкий, И. В. Физика твердого тела учеб. пособие.pdf

Если теперь взять отношение

то при больших л оно будет стремиться к нулю.

Отсюда напрашивается вывод, что дискретность, или раздель­ ность, энергетических уровней сказывается лишь для малых значе­ ний квантового числа. При больших же значениях л дискретность уровней утрачивается.

Точно так же, используя выражение (1.1.36), можно для неко­ торых значений л зарисовать графики волновой функции в случае электрона в потенциальной яме (рис. 3). Получение этих графиков

ские уровни будут возбужденными.

Выше мы рассмотрели одновременную или плоскую модель по­ тенциальной ямы. Совершенно аналогично можно было бы рассмот­ реть трехмерную задачу. В этом случае необходимо учитывать все три координаты х, у, z, а одномерная потенциальная яма как бы заменяется потенциальным ящиком, имеющим три измерения.

В такой трехмерной задаче решение волнового уравнения, оп­

20

Соответственно собственные значения энергии определяются фор­ мулой

Используя выражение (1.1.40), легко показать на примере этой трехмерной задачи вырождение энергетических уровней, о котором говорилось в пунктах 1.1.2 — 1.1.4.

Предположим, что

Хотя выражением (1.1.42) задан вполне определенный энерге­ тический уровень, однако условие (1.1.41) может быть выполнено тремя различными комбинациями квантовых чисел пх, п2, п3:

(1.1.38) будет свое значение волновой функции, то заданному энер­ гетическому уровню будут соответствовать три различных значе­ ния волновой функции. Другими словами, заданному энергетиче­ скому уровню будут соответствовать три различных состояния частицы, или этот уровень будет иметь трехкратное вырождение.

1.1.7. ПРОХОЖДЕНИЕ МИКРОЧАСТИЦЫ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР. ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ

Пусть имеется потенциальный барьер высотой V в виде прямо­ угольного уступа, показанный на рис. 4. Будем рассматривать об­ ласть 1 — слева от барьера и область 2 — справа от барьера. При этом считаем, что частица массой т имеет энергию Е и движется к барьеру слева направо. Указанные ограничения аналитически могут быть записаны так:

V = V (х) при 0 < * < + оо (область 2).

21

Волновое уравнение (1.1.29!), соответствующее уравнению Шредингера, с учетом одной координаты х запишем отдельно: для области 1

(1.1.44)

для области 2

Общие решения уравнений (1.1.44) и (1.1.45) можно записать

ввиде: область 1

Проанализируем эти решения. В решении (1.1.47) первое сла­ гаемое представляет собой плоскую волну, бегущую в положитель­ ном направлении оси х, т. е. слева направо или к барьеру. Другими словами, это будет падающая на барьер волна. Точно так же легко видеть, что второе слагаемое в (1.1.47) определяет волну, распро­ страняющуюся в противоположном направлении (в отрицательном направлении оси х), т. е. волну, отраженную от потенциального барьера.

Аналогично этому в решении (1.1.48) первое слагаемое опреде­ ляет волну, бегущую в области 2 направо, т. е. волну, проходящую через потенциальный барьер. Из этих же соображений второе сла­ гаемое в (1.1.48) должно соответствовать волне, бегущей в области 2 справа налево, т. е. как бы отраженную волну. Однако в области 2 волне не от чего отражаться, и по смыслу такой волны не может быть. Поэтому в решении (1.1.48) из физических соображений не­

Для оценки по энергии коэффициентов отражения R и пропу­ скания D в случае заданного барьера используем то положение, что интенсивность волны прямо пропорциональна квадрату ее ам­ плитуды.

Тогда коэффициент отражения от потенциального барьера будет равен

22

Аналогично этому коэффициент пропускания или коэффициент прозрачности потенциального барьера запишется в виде:

а Х2 и — длины волн в областях 2 и 1. При этом в выражениях (1.1.49) и (1.1.50) в силу комплексности функций и ф2 взяты квадраты модулей соответствующих амплитуд. Необходимо также оговориться, что по закону сохранения энергии должно выпол­ няться соотношение

мнимой величиной. В самом деле, при V^>E

В данном случае волновая функция будет экспоненциально убы­ вающей

Однако квадрат ф2 по смыслу определяет вероятность проникно­ вения частицы за потенциальный барьер. Отсюда эта вероятность не равна нулю, а имеет вполне определенное конечное значение.

С учетом (1.1.53) для случая высокого барьера коэффициент D прозрачности потенциального барьера толщиной d будет опреде­ ляться выражением

23