Файл: Крутецкий, И. В. Физика твердого тела учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.10.2024
Просмотров: 84
Скачиваний: 0
Дифференциальное уравнение (5.4.6) и позволяет определить кон центрацию п электронов в слое как функцию V (х), которая, в свою очередь, является функцией л:. Интегрируя (5.4.6), получим
1п и = |
У(х) |
(су — I n c ) |
|
kT |
|||
|
|
||
или |
|
|
|
In J L = |
VW |
||
|
c |
kT |
|
Последнее выражение можно записать в виде:
И (х) |
|
п = се кТ . |
(5.4.7) |
Постоянную интегрирования с в выражении (5.4.7) определим |
|
из условия, что на границе слоя при х = |
1п концентрация электро |
нов п равна равновесной п0, а контактный потенциал ф (х), энергия
V {х) и контактное поле & (х) |
равны нулю, т. |
е. при х = |
п = п 0 |
||||||
|
V (L ) = ~ |
« Р ( U |
= |
0 ё и( / „ ) |
= |
dtp (х) |
= 0. |
(5.4.8) |
|
|
dx |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
x=ln |
|
|
На |
основании |
(5.4.8) |
из |
(5.4.7) |
имеем п0 — с, следовательно |
||||
(5.4.7) |
запишется так: |
|
Vj£) |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
п (х) = п0е |
kT |
|
|
|
(5.4.9) |
||
|
|
|
|
|
|
||||
Из (5.4.7) и графика функции V (я) на рис. 71^следует, |
что [с |
||||||||
уменьшением х от значения х = 1п до х' — 0 |
|
энергия V (х) растет, |
|||||||
а концентрация п (х) уменьшается по экспоненциальному закону.
Если, кроме этого, |
учесть, |
что |
при комнатной температуре (Г = |
|
= 300° К), как мы |
видели |
раньше, kT ^ |
0,026 эв, то уже для |
|
V (х) ~ 0,06 эв из (5.4.9) величина п (х) ~ |
0,1 п0. Следовательно, |
|||
практически можно считать п (х) |
п0 и р |
из (5.4.3) взять в виде |
||
|
|
р |
еп0. |
(5.4.10) |
Итак, с учетом (5.4.10) рассмотрим уравнение Пуассона |
||||
|
d2ф (х ) |
4яр |
|
|
|
|
dx2 |
е |
|
или |
d2q) (х )_ 4яе«0 |
|
||
|
(5.4.11) |
|||
|
dx2 |
|
s |
|
|
|
|
||
Решать его будем, удовлетворяя граничным условиям (5.4.8). Для
определения /„ также используем следующее условие: |
при х == 0 |
|||
Ф |
(0) = фк, V (0) = Ек и § (0) = <§к. |
|
(5.4.12) |
|
Условие V (0) |
= |
VK справедливо в том случае, |
если считать, |
|
что вся контактная |
разность потенциалов падает |
на |
контактном |
|
163
слое в полупроводнике. Последнее оправдано тем, что расстояние между металлом и полупроводником порядка 10'”' см, что значи тельно меньше толщины слоя в полупроводнике.
Первое интегрирование (5.4.11) дает
dtp ( х ) |
4яея0 |
(5.4.13) |
--------dx |
----------------- Х~| - C l , |
|
8 |
|
а второе интегрирование приводит к выражению
ф (х) — —2jterto ^2 _j_ Ci д. |
, |
(5.4.14) |
8 |
|
|
Постоянные интегрирования сх и с2 определяем из граничных условий (5.4.8). На основании (5.4.8) с, из (5.4.13) и с2 из (5.4.14)
запишутся в виде:
. |
|
^ |
|
4яепп, . |
|
|
|
|
|
Ci — |
е |
in, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2пеп0 , 2 |
4лея0 |
,2 |
2леп0 ,2 |
|||
С 2 — |
6 |
’л |
|
8 |
‘■п — |
6 |
>«• |
|
|
|
|
|
|||
Подставляя найденное значение сг и с2 в (5.4.14) и (5.4.13) по лучим
Ф ( х ) |
= |
|
|
(5.4.15) |
|
|
|
8 |
|
|
|
S ( x ) = |
— ^ L = |
—l ^ |
( / n_ x)\ |
(5.4.16) |
|
|
|
dx |
8 |
|
|
V (x)^ |
^ |
e(p(x) = |
J2 ^ |
(ln_ x)2. |
(5.4Л7) |
|
|
|
e |
|
|
Из эт,их выражений видно, что в рассматриваемом случае в приконтактном слое потенциал ф (х) и потенциальная энергия V (х) электрона изменяются с расстоянием х по параболическому закону, а поле S (х) изменяется по линейному закону.
Теперь на основании (5.4.17) легко определить и толщину приконтактного слоя 1п, т. е. расстояние, на которое проникает кон тактное поле. Действительно, полагая в (5.4.17) х = 0 (см. рис. 71) ц учитывая (5.4.12), получим
К(0) = |
у ^ л ^ щ Z2, |
|
||
отсюда |
|
|
|
|
, Л |
у (0) |
вУк |
(5.4.18) |
|
\/ 2яе2п0 |
V 2ле2я0 |
|||
|
||||
Через контактную разность потенциалов эта же формула запи шется:
/п |
ефк |
(5.4.180 |
|
2леп0 |
|||
|
|
164
В пункте (5.4.1) мы показали, что на контакте металла с полу проводником п-типа (см. рис. 67) при выполнении условия WM^>W„ возникает запирающий слой. Такой контакт, как покажем дальше, будет обладать выпрямляющим действием. Например, подобный выпрямляющий контакт используется при создании точечных гер маниевых диодов, где металлическая стальная проволока образует выпрямляющий контакт с германием «-типа.
Рассчитаем для этого контакта толщину приконтактного слоя /„
в электронном германии, если, например, п0 = 1018—!— , е == 16,5
см3
и WK WM— Г п - 0,3 эв. Используя формулу (5.4.18), получим
16,5-0,03-1,6- 1Q—12
5,8-10-е см — 0,6-10—5 см.
2-3,14-(4,8-10—10)2-1016
!Заметим, что согласно (5.4.18) или (5.4.18!) для контакта металла
сполупроводником толщина приконтактного слоя в полупровод нике прямо пропорциональна корню квадратному из контактной разности потенциалов и обратно пропорциональна корню квадрат
ному из концентрации.
5.4.3. ВЫ П РЯМ Л ЯЮ Щ И Й КОНТАКТ М ЕТАЛЛА С П О ЛУП РО ВО Д Н И КО М
Качественно рассмотрим воздействие на контакт полупровод ника с металлом внешнего электрического напряжения в том слу чае, когда на контакте образуется запирающий слой. При этом по
кажем, что такой |
контакт обладает |
|
|
|||||
выпрямляющими свойствами. |
|
|
® |
© п-типа. |
||||
Если |
к контакту металла с полу |
|||||||
|
|
|||||||
проводником п-типа (см. рис. 67) при |
|
|
||||||
кладывается внешнее напряжение, то |
|
|
||||||
можно показать, что при одной |
по |
|
|
|||||
лярности |
напряжения контакт |
будет |
|
|
||||
проводящим, |
а при обратной поляр |
|
|
|||||
ности — практически непроводящим. |
|
|
||||||
Предположим вначале, что внеш |
|
|
||||||
нее напряжение |
U прикладывается |
|
|
|||||
к контакту (рис. 67) так, как это |
|
|
||||||
показано |
на |
рис. |
72, т. е. |
минус |
|
|
||
к «-полупроводнику и плюс |
к |
металлу. |
Тогда |
в приконтакт- |
||||
ной области |
полупроводника |
положительный объемный заряд |
||||||
уменьшится, |
а в |
приконтактной |
области |
металла |
соответственно |
|||
уменьшится отрицательный заряд. В результате этого потенциаль ный барьер уменьшится, уменьшится толщина [см. (5.4.18)] при контактного слоя, что будет соответствовать уменьшению электри ческого сопротивления запорного слоя, а следовательно, контакт окажется проводящим. Уменьшение толщины приконтактного слоя в полупроводнике согласно формуле (5.4.18) объясняется тем, что величина потенциального барьера на границе контакта V (0) будет равна не VK, a VK— eU, где е — заряд электрона. Из рис. 72 видно,
165
Что потенциальный барьер уменьшается от значения • V (0) = VK (см. рис. 67) до значения V (0) = VK— eU.
На рис. 72 также показано, что уровень химического потенциала при наличии внешнего поля уже не будет одинаковым в металле и полупроводнике. В частности, в полупроводнике он поднимается вверх на величину, равную eU, а в металле останется на прежнем месте. Это объясняется тем, что приконтактный слой, занятый объем ным зарядом, как говорилось выше, в основном расположен в полу проводнике, на нем практически падает все приложенное напряже ние. Поэтому при неизменности термодинамической работы выхода для полупроводника Wn уменьшение энергии контактного поля VK = — Wn на величину eU должно сопровождаться переме щением вверх уровня ц, от которого отсчитывается Wn, на такую же величину eU.
Если на тот же самый контакт (см. рис. 67) прикладывается на пряжение U противоположной полярности, т. е. минус на металл и плюс на полупроводник, то величина потенциального барьера уве личивается, возрастает сопротивление контакта и контакт стано вится непроводящим. Увеличение сопротивления контакта опреде ляется увеличением толщины контактного слоя в полупроводнике 1п [см. (5.4.18)], так как в данном случае V (0) = VK + eU.
В теории выпрямляющего действия полупроводников и в прак тике полупроводниковых приборов, содержащих выпрямляющие контакты, принято говорить о прямом и обратном внешнем напря жении, о прямом (пропускном) и обратном (запорном) направлении тока. Прямым напряжением называется такое внешнее напряжение, при котором сопротивление контакта уменьшается и контакт ста новится проводящим. При этом соответствующее направление тока называется прямым или пропускным. Напряжение противополож ной полярности, при котором сопротивление контакта возрастает и он становится непроводящим, называется обратным или запираю щим, а соответствующее направление тока называется обратным или запорным.
В рассмотренном случае контакта металла с «-полупроводником при условии WM> Wn (см. рис. 67) прямое напряжение соответст вовало подаче на п полупроводник минуса, а на металл—плюса от источника внешнего напряжения. Если же рассмотреть запорный слой на контакте металла с р-полупроводником (см. рис. 70), то аналогичными рассуждениями можно показать, что прямое напря жение для этого случая соответствует подаче плюса напряжения источника на р-полупроводник и минуса’ на металл.
§ 5.5. ЭЛЕКТРОННО-ДЫРОЧНЫЙ ПЕРЕХОД
5.5.1. О БРА ЗО ВА Н И Е р — п П ЕРЕХО Д А
При изучении в § 5.4 особенностей контакта металла с полупро водником, а также при объяснении возникновения объемного за ряда при контакте двух полупроводников в § 5.2 рассматривался
166
только один вид носителей тока — электроны. Однако можно по казать, что даже в полупроводниках n-типа, для которых в § 5.4 рассчитывалась толщина приконтактного слоя, концентрация ды рок у границы контакта с металлом весьма значительна, причем она возрастает с ростом высоты запорного слоя (с ростом Ук).
Действительно, если распределение концентрации электронов в приконтактном слое (5.4.9) при отсутствии внешнего напряжения было получено из условия равенства нулю полного электронного тока, то по аналогии с этим, приравнивая нулю полный дырочный ток (5.3.14) и учитывая (2.6.7), получим уравнение
dp _ d V (х)
dx kT
Решая это уравнение подобно уравнению (5.4.6), получим
у <*) |
(5.5.1) |
р(х) = р0е кт ’ |
где р 0 — равновесная концентрация дырок в глубине полупровод ника.
Из (5.5.1) и (5.4.9) следует, что на самой границе контакта, где л: равно нулю, энергия
V(x) = V(0) = |
VK |
|
|
||
и |
|
|
|
|
|
|
|
Zk |
|
|
(5.5.2) |
|
р(0) = |
роекГ ; |
|
||
|
|
_Хк |
|
|
(5.5.3) |
|
n(0) = |
n0ek r . |
|
||
Если теперь вместо п0 и р0 подставить их значения из (5.1.7) и |
|||||
(5.1.9!), то (5.5.2) и (5.5.3) перепишутся в виде: |
|
||||
(2n m * k T f 2 |
kT |
|
(5.5.4) |
||
р (0) = 2 ^— |
р_- 1 |
е |
|
||
|
hs |
|
Ии ик |
|
|
|
(2л mnkT 13/2 |
|
|||
п( 0) = |
|
kT |
(5.5.5) |
||
2 ■ |
|
|
|
||
На основании формул |
(5.5.2) — (5.5.5) |
можно заключить, что |
|||
у самой границы контакта при значительной величине VK концен трация дырок даже может превышать концентрацию электронов.
Из формул (5.5.4) и (5.5.5) видно, что если т * не сильно отли чается от т*п, то концентрации электронов и дырок у границы кон такта будут примерно одинаковыми при
Р + VK= E g— р — Е.(,
167