Файл: Дьяченко, А. Н. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Теория вероятностей и элементы математической статистики учебное пособие.pdf

Вычисление удобно проводить, записывая результаты в табл. 2.

По формуле (6.5) находим оценку для R:

С

0,05 — и 0,95 квантили х2 распределения с числом степеней свободы 4:

у2 = 3,36, Yi = 11,67. Подставляя 0 ^, у 2 в формулу (6.38),

находим границы доверительного интервала для дисперсии a2R:

[646,3; 2226,9].

Доверительным интервалом среднего квадратического отклоне­ ния, соответствующим доверительной вероятности 0,9 является ин­

176

В действительности, из-за ошибок измерения равенства (6.44) при истинных значениях ах, а2, . ■■, ат, выполняются нестрого и уравнения можно рассматривать только как условные. Их так и называют «условными уравнениями». Разность между правой и левой частью называют невязкой уравнения. В нашем случае не­ вязка равна ошибке 6£ результата измерения величины г/£. При п<Ст число уравнений меньше числа неизвестных и оценки ах, . . .,

торых равно числу неизвестных. При п^>т возникает задача ис­ пользовать избыток уравнений таким образом, чтобы сделать ми­ нимальным влияние ошибок измерения на оценку величин ах, . , ат.

Будем предполагать, что все величины г/£ измерены с одинако­ вой точностью, т. е. дисперсии а2 всех ошибок измерения одинаковы, и кроме того, ошибки измерения 6£независимы:

подобия (см. § 6.3). Вероятность того, что измеренные значения величин yt будут удовлетворять неравенствам

с точностью до величин более высокого порядка малости, чем А” , равна:

п

(2д) 2 оп

Найдем величины ах, а2, . . . , ат— обеспечивающие максимум этой вероятности. Очевидно, что точка максимума функции правдо­ подобия (6.45) одновременно является точкой минимума суммы квадратов невязок:

Так как в точках экстремума дифференцируемой функции част-' ные производные равны нулю, то дифференцируя (6.46) по ajt / = 1, . . . , т, получим систему т уравнений для определения

177

Метод, в соответствии с которым параметры подбираются так, чтобы обеспечить минимум суммы квадратов невязок, называется

методом наименьших квадратов. В нашем случае оценки ah полу­ ченные по методу наименьших квадратов, обеспечивают и максимум функции правдоподобия.

Можно показать, что в случае, когда все линейно зависят то dj, оценка, полученная по методу наименьших квадратов, является несмещенной и эффективной.

Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наи­ меньших квадратов. Во многих случаях опыт проводится с целью

всегда можно провести кривую, выражаемую аналитически много­ членом степени (п— 1), так, чтобы она в точности прошла через каждую точку.* Однако такое решение вопроса не является удов­

лярный характер экспериментальной зависимости, вызванный ошибками измерения. В связи с этим возникает задача сглажива­ ния экспериментальной зависимости: требуется обработать экспе­ риментальные данные так, чтобы отразить зависимость у от х и вместе с тем сгладить случайные уклонения, вызванные неизбеж­ ными ошибками измерений. Будем предполагать, что тип зависимо­ сти у = f (х) известен с точностью до нескольких числовых пара­ метров а1; а2, . . . , ат. Часто вопрос о типе кривой решается не­ посредственно по внешнему виду кривой. Так зависимость, изобра­ женная на рис. 62, мало отличается от параболы и, следовательно, хорошо может быть представлена полиномом второй степени. В дру­ гих случаях тип кривой известен из теоретических соображений. При сделанных предположениях задача о сглаживании эксперимен­ тальных зависимостей может быть сформулирована следующим об­

178

в некотором смысле наилучшим образом выражала эту зависи­ мость.

Эту задачу обычно решают методом наименьших квадратов, ко­ торый состоит в следующем. Ввиду ошибок, происходящих при из­

называется невязкой в точке х = Хс. Желательно, подобрать па­ раметры ах, а 2, . . . , ат таким образом, чтобы во-первых, умень­ шить невязку во всех точках, где проводились замеры, и во-вторых, чтобы процедура для вычисления этих параметров была сравни­ тельно простой. В методе наименьших квадратов обе цели дости­ гаются за счет того, что в качестве оценок неизвестных параметров

берутся числа ах, аа, . . . , ат, при которых достигает минимума сумма квадратов невязок:

S(a, Ь)= 2 ( У (. - а Х г- 6 ) г.

1= 1

Чтобы найти минимум этой функции, найдем частные производ­ ные первого порядка и приравняем их нулю:

Таким образом, получили систему двух уравнений для опреде­ ления неизвестных а и Ь. Разделив оба уравнения на 2п и раскры­ вая скобки, преобразуем систему уравнений следующим образом-.

179