Файл: Дьяченко, А. Н. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Теория вероятностей и элементы математической статистики учебное пособие.pdf

в) цилиндрической поверхностью, направляющей которой яв­ ляется граница области D, а образующая параллельна оси г.

Такое тело будем называть цилиндроидом, образованным функ­ цией / (х, у) на области D. Обозначим это тело V, а объем его — v

Рис. 2

(рис.. 2). Разобьем область D на п частей. Через границу каждой элементарной области Dk проведем цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси z. Тогда рассматриваемое тело V окажется разбитым на п частичных тел—цилиндроидов, постро­

ражение имеет следующее геометрическое толкование: оно равно объему цилиндра, основание которого Dk (с площадью Ask) и вы­ сота mk. Этот цилиндр вписан в цилиндроид V* (рис. 3). Анало­ гично, выражение MkAsk равно объему цилиндра, описанного около цилиндроида Vk. Таким образом, имеем следующее соотно­

шение:

mkAsk< vk< MkAsk.

9

Просуммируем эти неравенства для всех k, т. е. для всех частич­ ных цилиндроидов. С учетом равенства (1.3) получим:

Заметим, что tnk и Mk — значения функции f (х, у) в некоторых точках области Dk. Отсюда следует, что суммы

ПП

есть интегральные суммы функции f (х, у) в области D.

Таким образом, объем цилиндроида V ограничен двумя интег­ ральными суммами, которые отличаются только выбором точек в ча­ стичных областях. Будем увеличивать п таким образом, чтобы ранг дробления Ап стремился к нулю. Так как для непрерывной функции предел последовательности интегральных сумм существует и не зависит от выбора точек в частичных областях, то при Хп 0 каж­ дая интегральная сумма, входящая в соотношение (1.4), стремится к двойному интегралу от функции f (х, у) по области D. Отсюда получаем:*

Таким образом, двойной интеграл от непрерывной положитель­ ной функции численно равен объему цилиндроида, образованного f (х, у) на области D.

1.2. Свойства двойного интеграла

Будем предполагать, что все рассматриваемые функции опреде­ лены и интегрируемы в области D и в любой ее части.

Линейность. Свойство 1. Постоянный множитель можно вы­ носить за знак двойного интеграла, т. е.

Свойство 2. Двойной интеграл по области D от суммы функций равен сумме двойных интегралов по области D от каждого слагае­ мого. Для случая двух слагаемых это свойство может быть выра­ жено формулой

Доказательство свойств 1 и 2 вытекает непосредственно из опре­ деления двойного интеграла.

* См. [1], § 5.15, теорема 4.

10

■Свойство 3 (обобщающее свойства 1 и 2).

Свойство 3 доказывается последовательным применением свойств

1 и 2.

Равенство (1.8) и выражает свойство линейности двойного ин­ теграла относительно подынтегральной функции. Двойной интеграл от линейной комбинации функций равен линейной комбинации от двойных интегралов.

Заметим, что свойства, аналогичные свойствам 1, 2, 3, справед­ ливы и для определенного интеграла.

Аддитивность относительно области интегрирования. Свойство 4.

Если область D разбита на две области D г и D 2, не имеющие общих внутренних точек, то имеет место равенство

Д о к а з а т е л ь с т в о . Разобьем область D на части таким образом, чтобы каждая частичная область целиком принадлежала или области D x, или области D 2 (для этого надо в число линий, дро­ бящих область D на части, включить линию, отделяющую область Dy от области D 2). Тогда интегральную сумму по области D можно представить в виде

где индексы под каждой суммой указывают, к какой области от­ носятся слагаемые, входящие в сумму. Переходя к пределу в ра­ венстве (1.10) при стремлении к нулю ранга дробления области, получим равенство (1.9), что и требовалось доказать.

Оценки двойного интеграла. Свойство 5. Двойной интеграл от неотрицательной функции неотрицателен, т. е. из неравенства f (х, У) > 0 в области D следует неравенство

Яfix, y)d s> 0.

D

Доказательство свойства вытекает из формулы (1.2), в правой части которой оказывается предел от суммы неотрицательных ве­ личин, т. е. неотрицательное число.

DD

До к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим функцию Ф (х, у), оп­ ределенную соотношением

Ф (*. y)= fi(x, У) — /г (х, у).

11

Из формулы (1.11) следует, что Ф (х, у) > 0 . Применим к функ­ ции Ф (х, у) свойство 5 и получим:

Я [М *> y)—h(x, у)] d s > 0 .

D

Отсюда с учетом (1.8) получим требуемое неравенство (1.12).

Свойство 7. Если числа т и М таковы, что для всех точек обла­ сти D справедливо соотношение

Так как очевидно, что при любом разбиении области D на части

1 Ask= S , fc=i

то получаем следующую формулу:

[jjds=S. (1.16)

"d

Подставляя формулу (1.16) в неравенство (1.15), получаем тре­ буемое неравенство (1.14).

Замечание. Оценка (1.14) окажется более точной, если в качестве чисел т и М взять соответственно наименьшее и наибольшее значения функ­ ции jF(*, у) в области D.

Теорема о среднем. Свойство 8. Если функция f (х, у) непрерывна

взамкнутой области D, то в этой области найдется такая точка

Р(х0, у0), для которой справедливо равенство:

12