Файл: Дьяченко, А. Н. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Теория вероятностей и элементы математической статистики учебное пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 66

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Несмещенными точечными оценками математических ожиданий будут средние арифметические:

2 x t 2 Yt

т\= — — ;

т* = ^

----

х п

У

п

Несмещенные оценки дисперсий и корреляционного момента

.. *

1=1

;

 

2 ( » V

Dx

п — 1

Dy= i=i

 

 

 

п —

 

H

( X i - m l )

[Yt ■ m*y]

 

i=i

 

 

 

 

Кxy -

 

П—

 

 

 

6.4. Д оверительны е интервалы

и

доверительны е вероятности

Точечная оценка а* параметра а распределения генеральной совокупности является случайной величиной, поэтому, чтобы иметь представление о погрешности такой оценки, нужно знать вероят­ ность ее большего или меньшего отклонения от оцениваемого пара­ метра. С этой целью в статистике вводится понятие доверительной вероятности и соответствующего ей доверительного интервала.

Пусть ая = ан (Х1з Х 2, . . .

, Хп) и ав =

ав (Хъ

Х 2, . . . , Хп),

причем

ан< а в, такие функции выборочных

значений,

что вероят­

ность

выполнения неравенств

аъ<Са<Сав

равна

(3.

Интервал,

[ан, ав] называется доверительным интервалом параметра а соот­ ветствующим доверительной вероятности (3.

Таким образом, событие, состоящее в том, что доверительный интервал, вычисленный по выборочным значениям, накроет неиз­ вестный оцениваемый параметр а, является случайным. Вероят­ ность этого события равна заданной доверительной вероятности |3:

Р {ан< а < а в} = р.

(6.25)

Заметим, что при этом параметр а хотя и неизвестен, но не слу­ чаен. Случайными величинами являются концы доверительного интервала, поскольку они функции значений случайной выборки. Обычно в качестве доверительной вероятности |3 берется число, близкое к единице (0,9 и более), чтобы можно было быть в большой степени уверенным, что оцениваемый параметр лежит внутри до­ верительного интервала. Вопрос о конкретной величине р решается из практических соображений.

Условие (6.25) не однозначно определяет положение доверитель­ ного интервала на числовой оси. Обычно либо дополнительно тре­ буют, чтобы доверительный интервал был симметричен относи­

тельно

точечной оценки параметра а*, т. е. ан = а*—s

и ав —

= а* +

s, тогда условие (6.25) принимает вид:

 

 

Р{ | а * — а | < е } = р,

(6.26)

167

либо требуют, чтобы вероятности положений доверительного ин­ тервала левее и правее оцениваемого параметра были равны; ввиду (6.25) концы интервала в этом случае удовлетворяют условию:

P (a < a H) = P (a > a B) = i-=-^-.

(6.27)

Если а* — несмещенная оценка параметра а и закон распреде­ ления ее симметричен относительно математического ожидания, то доверительные интервалы, определяемые условиями (6.26) и (6.27), совпадают.

Вычисление доверительного интервала для математического ожидания при известной дисперсии. Предположим сначала, что величина | в генеральной совокупности распределена по нормаль­ ному закону с математическим ожиданием т и дисперсией а2. Бу­ дем считать дисперсию а2 известной. В этом случае оценка

П

т"

1—1

математического ожидания генеральной совокупности распределена по нормальному закону с математическим ожиданием М [т* ] = т

и дисперсией D 1т* ] =

а2 В соответствии

с формулой

(5.33)

имеем:

 

 

 

 

т"

-т I < е } = 2Ф

\гп

•1.

(6.28)

 

Таким образом, половину длины г доверительного интервала, соответствующего доверительной вероятности |3, можно найти из условия

2Ф S Y n

1= р.

(6.29)

Обозначим /ц квантиль порядка

+ Р нормального закона

рас­

пределения с параметрами т = 0 и а = 1, т. е. корень уравнения

Ф((): Р (6.30)

Тогда

(6.31)

Уп

и, следовательно, доверительным интервалом для математического ожидания, соответствующим доверительной вероятности р будет интервал

т "

— t o

(6.32)

У п

У

 

168

Величина может быть найдена по табл. 1 приложения. Для этого нужно найти значение функции Ф (х), равное |3, и определить соответствующее значение аргумента, которому равно

Если объем выборки я большой (я>-30), то в силу центральной предельной теоремы закон распределения т* будет близок к нор­ мальному при любом распределении S в генеральной совокупности и если известна дисперсия а2 генеральной совокупности, довери­ тельный интервал для математического ожидания можно по-преж­ нему вычислять по формуле (6.32). При больших я (я>100) эта формула пригодна и в том случае, когда дисперсия генеральной совокупности неизвестна. Следует только параметр а заменить од­

ной из его оценок ап или а*.

Пример 6. Пусть величина | распределена в генеральной совокупности по нормальному закону с дисперсией а2 = 0,1. Каким должен быть объем выборки, чтобы ширина 2е доверительного интервала для ма­ тематического ожидания, при доверительной вероятности (3 = 0,99, не превосходила 0 ,1.

Р е ш е н и е . По табл. I приложения находим ф = 2,6. Так как е = 0,05, то из (6.31) следует, что

Следовательно, чтобы выполнялось неравенство |т* — т |<<е с вероятностью 0,99 нужно взять выборку объема п >281.

Вычисление доверительного интервала для дисперсии. В тех слу­ чаях, когда неизвестны все параметры закона распределения ге­ неральной совокупности, границы доверительных интервалов вы­ ражают через функции выборочных значений, законы распределе­ ния которых не зависят от параметров закона распределения ар­ гументов. К таким законам распределения относятся упоминав­ шиеся ранее х2 — распределение и закон распределения Стьюдента.

Пусть случайная величина \ распределена в генеральной сово­ купности по нормальному закону с параметрами яти о. Тогда рас-

ПОо

 

пределением случайной величины —п2—, где

я объем выборки, а

о2 — выборочная дисперсия, как следует из

(6.1), (6.2) и (5.119),

является распределение х2 с я— 1 степенями свободы. Для диспер­ сии генеральной совокупности о 2 найдем доверительный интервал, удовлетворяющий условию (6.27), т. е. найдем ан и ав такие, что

 

 

(6.33)

Введем вспомогательные величины:

.2

 

 

(6.34)

Yi =

.2

7 Заказ № 1740

 

169

О

2

Fl\Ji*

Нетрудно проверить, что неравенства а 2 >

ав и у2

------ вы-

 

 

а2

полняются одновременно, а неравенство Y i>

net 2

---------- в тех случаях,

 

а 2

когда не выполняется неравенство а 2 < а£, т. е. первые два события эквивалентны, а последние — противоположны. Учитывая это и

(6.33), находим:

Р

ЯО»

 

1-Р . . 1+ Р

.

р

 

 

 

1-Р

(6.35)

 

а2 < Y i

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

Вспоминая определение функции распределения и тот факт, что

для

непрерывных распределений

Р (£ < х )

=

Р (I <х),

из соотно­

шений (6.35) можно получить:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F*. п-1(Yi) = 4

^

;

F*. л-1 М

= -Х=^~ ,

 

(6-36)

где

п_ 1 {х) — функция

распределения

случайной

величины,

распределенной по закону х2 сп — 1

степенями свободы. Таким обра-

зом, Yj является

квантилью

 

 

 

1+ р

, а

— квантилыо по-

порядка — с-1-

рядка 1 ~ б ■для распределения

х2

с п— 1

степенью свободы и мо­

гут быть найдены по табл. III

приложения.

При

 

большом

объеме

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

выборки (п > 30)

распределение х

 

 

 

ПО%

 

близко

к нор-

 

величины------

 

мальному с математическим

 

 

 

 

 

а2

п— 1,

и

диспер­

ожиданием, равным

сией, равной 2 (п— 1). Поэтому

 

 

■Vl— (я — 1) \

_

 

 

 

Р X,2, п—1 (Yi)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. у 2(л -1 )

)

’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рх*, П—1

 

 

 

Ф Та — (п—1) \

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, V2jn=T)

} '

 

 

Откуда, воспользовавшись соотношением

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф (— х) = 1 — Ф (х),

 

 

 

 

 

 

получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ф/ я—1—У»\

ф/Лк—Я + ..Ц = !.+ Р. .

 

 

 

\У2( п— \)1

\У2(п — \)!

2

 

 

 

 

Обозначив ^

квантиль порядка

1+ Р

для нормального закона

распределения с параметрами т =

 

2

1,

получаем:

 

 

 

0; а =

 

 

 

 

11

п — 1— у2

 

У1 — п +

 

 

 

 

 

 

 

Р

/ 2 (я— 1)

 

1^2 (я — 1)

 

 

 

 

 

170

Смотрите также файлы