Файл: Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие.pdf

Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР С Е В Е Р О - З А П А Д Н Ы Й З А О Ч Н Ы Й П О Л И Т Е Х Н И Ч Е С К И Й И Н С Т И Т У Т

С. И. И Т Е Н Б Е Р Г , Л . А. К А Л Ь Н И Ц К И Й

Одобрено Редсоветом С З П И 25 января .1973 г.

ЛИ Н Е Й Н АЯ АЛГЕБРА

ИАНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА П Л О С К О С Т И .

ВВЕДЕНИЕ В А Н А Л И З

У Ч Е Б Н ОЕ ПОСОБИЕ

Общая редакция A.A. ПОТАПЕНКО

Л Е Н И Н Г Р А Д 1 9 7 3

Настоящее учебное пособие составлено в со­ ответствии с действующей программой по высшей математике для высших технических учебных за­ ведений, утвержденной Министерством высшего и

С Е М Е Н И З Р А И Л Ь Е В И Ч И Т Е Н Б Е Р Г Л Е О Н И Д А Л Е К С А Н Д Р О В И Ч К А Л Ь Н И Ц К И Й

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

У Ч Е Б Н О Е П О С О Б И Е

издание Северо-западного заочного политехнического института, 1973 г.

РАЗДЕЛ I

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

ГЛАВА 1

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

1.1. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

В этой главе изучаются основы теории матриц и тесно связанной с ней теории определителей.

Возникшие из потребностей исследования и решения систем уравнений первой степени, матрицы и определители очень скоро нашли применение и в других областях математики и ее приложе­ ний. В настоящее время они превратились в самостоятельные раз­ делы математики, используемые как в самой математике, так и в ряде технических дисциплин, например, теоретической электро­ технике, оптике и др.

Мы ограничимся, в основном, применением матриц и определи­ телей к вопросам исследования и решения систем уравнений пер­ вой степени, имеющих важное значение во многих разделах мате­ матики, и, в частности, в геометрических исследованиях.

Матрицей называется совокупность чисел, расположенных в виде таблицы, состоящей из определенного числа строк и опреде­ ленного числа столбцов и рассматриваемой как единое целое. Мат­ рица, состоящая из п строк и m столбцов, записывается так:

Числа аік, составляющие матрицу, называются э л е м е н т а м и матрицы. Для удобства записи элементы матрицы обозначаются

3

ных на диагонали, соединяющей левую верхнюю вершину мат­ рицы с правой нижней вершиной, называется г л а в н о й д и а ­ г о н а л ь ю матрицы. Совокупность элементов, расположенных на

Элементы теории матриц будут рассмотрены в конце настоящей главы. Вначале займемся изучением важнейшей числовой харак­ теристики квадратной матрицы, называемой о п р е д е л и т е ­ л е м матрицы, и применением определителей к исследованию и решению систем линейных уравнений.* В связи с этим остановимся еще на обозначениях и основных понятиях, принятых в теории та­ ких систем уравнений.

4

Для удобства записи и исследования системы линейных урав­ нений, состоящей из п уравнений с m неизвестными, принято не­ известные обозначать одной буквой с соответствующими индек­ сами: хъ х2, . . . , хт; коэффициенты при неизвестных обозначать также одной буквой, но с двумя индексами, і и k, аналогично обо­ значению элементов матрицы, из которых первый — і указывает на номер уравнения в системе, второй — k на номер неизвестного;

несовместна, так как левые части уравнений совпадают, а правые

5

Мы ограничимся рассмотрением, главным образом, систем ли­ нейных уравнений, в которых число уравнений п равно числу не­ известных, т. е. систем вида

представляет собой квадратную матрицу я-го порядка. Применение определителей в теории систем линейных уравнений

позволило разработать метод исследования таких систем и способы их решения. С помощью определителей были получены условия, позволяющие по коэффициентам системы, устанавливать, является ли система совместной или несовместной, в случае совместности системы устанавливать ее определенность или неопределенность, и был найден способ вычисления всех решений совместной системы.

1.2. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ВТОРОГО ПОРЯДКА. СИСТЕМА ДВУХ

ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ

Изучение теории определителей начнем с рассмотрения опреде­

Для краткости записи определитель матрицы А обозначают од­ ной буквой, например D, или D (А).

6