Файл: Горелик, А. Л. Некоторые вопросы построения систем распознавания.pdf

в)

после

проведения

экспериментов второй

стадии

— риски правильных решений

СЙ1 !** (*«,.

XaJ

-

ß,] =

[г, ( Хаі, Х аі)

2г] =

ЮО;

— риски ошибочных решений

CBl[z,(^fll,^ o,)-*S2,I =

500;

Ся, Iz2 {X0i, X aJ

-* 2j] =

300.

Заметим,

что

выражение

вида Csg [z ( Хаft) -* 23]

означает,

что

на основании исхода Х аft опыта аЛ

принято

решение,

что

объект

относится к классу 23, в то время

как

в действительности

он

при­

надлежит

классу

2g, g, < 7 = 1 , . . . ,

т;

q ф S-

4,

Произведем расчет значений рисков прекращения эксперимен

тов — р°

а)

Без проведения экспериментов.

что

объект

относится

Риск

принять

окончательное

решение,

к классу Qi

Pmcffi, —

(го

ö,) Р (2:) +

СВш(2Г0 — Q.)

(2.) =.

=

100-0,6 + 600 -0,4 =

300.

Риск

принять

окончательное

решение,

что

объект

относится

к классу

Q2

Рш^а, ~ С8і (20 —►2j) Р, (2,) +

Cffij (г0

2 г) Р (2а) =

=

700-0,6 +

100-0,4 =

460.

Таким образом, ро°= 300.

стадии.

б)

После

проведения

экспериментов первой

После проведения эксперимента ах.

Если Х аі = 0,

то

риск

принять

окончательное

решение,

что

объект

относится

к первому классу, равен

РшеЙ1 =

СВі \zt (Хаі =

0) -> 2,] Р (2 j!

=

0) +

+

Г*. (*„, = 0) -

2,] Р (2г I

Х'ь =

0) +

+ С (а,) =

100-0,43 +

300-0,57 +

100 =

314,

а риск принять окончательное решение, что объект относится к клас­

су

равен

P<»s

a, =

CBl [z, ( Xüi =

0) -

2,] P

(QJX^

=

0) +

+

CSi \zx (Xai = 0) -

2a] P

(Q, I

X ai =

0) +

С (а,) =

=

500-0,43 +

100-0,57+ 100 =

372.

Таким образом,

риск прекращения

экспериментов

после проведе­

ния опыта а,

с

исходом

Х Пі =

0

равен

р®( Ха =

0)= 314,

Если

Ха — 1,

то

риски

принять

окончательные

решения,

что

объект

относится к классу

2,

или

2 а соответственно

равны

= 256 и

Рт^я2 =

438, и значит риск прекращения экспериментов после прове­

дения опыта'а, с исходом Х а^ =1

равен р°(А'аі =

1) =-256,

Аналогично после

проведения

эксперимента

аг\

если

Х а = 0,

то Р ^ я , ^ 340 и

значит,

р° (A(Ij = 0)

=

320;“

если

х а, = 1> то

= 240 и P«,e a, =

520,

значит,

р° (А ^ == 1) =

240.

в)

после проведения эксприментов второй стадии.

Цепочка экспе

риментов а х, а2.

При

Х аг =

0;

X aj =

0

рше52і =

464,

р(1,е

„г =

372

и

значит

ро ( Хаз= 0 , Х аі = 0) =

372.

При

1;

АОі= 0

ршейі =

366;

Рш 6ца

=

568

и

значит

Р° (2+_ = 1,

2 ^ =

0) =

366.

При AUj =

О;

^ =

1

рш ейі=414;

=

472

и

значит

Р»(Аа і = 0 ,

Х Пі =

1) =

414.

При Х а%= 1;

Х йі =

1 ршеЯі =

324;

Ршейз=

652

и

значит

р«(А0. =

1,

Х аі =

1) =

324.

Цепочка

экспериментов а2ах со

всевозможными

исходами

приво­

дит к следующим значениям:

р» ( Хаі =

0, А'Яа =

0) = 372, р° (Х% =

1,

=

0) =

414,

Р° ( X ^

=

0,

=

1) = 366, p° ( Xai =

1, * öa =

1) =

324.

5.

Произведем расчет значений рисков

продолжения эксперимен-

->

тов р.

Риск продолжения опытов после

эксперимента

а х

с

исходом

а)

Х а = 0 равен

7 (АГЯі = 0) = р ( Х аі = 0, Х ^

= о) Р Хаі =0 (Ха,

= °) +

+ Р(2Гаі=0,

Хаг=1)РХаі=0(Ха^ \ ) .

Вероятности исходов

X ch = 0 и X lh = 1

эксперимента

аг после

проведения опыта

я,,

закончившегося исходом Х а^ =

0, соответствен­

но равны:

Рх0і =о (Ха, = °) =

Ря, (Ха, =

0 I Х^ =

0) Р (Q, I Х 0і = 0)+

+

Ря,

(Ха, = 0 12Гаі = 0) Р (О, I Х йі =

0) =

=

0,2-0,43 + 0,7 .0,57 =

0,49

Р Хаі =0 (*а,

=

И =

Ря,

(Ха, = 1 I Ха,

=

0) Р (0Ж| Х ^

=

0)+

+

Р®, (Ха, = 1 I Х йі =

0) Р (Sj 1Х а^ =

0) =

=

0,8-0,43 + 0,3-0,57 =

0,51.

С учетом того, что в данном случае

р(АГ0і, Х а^ ~

р° (Л ^, А я>)

о(АЯі =

0) = 372-0,49 +

366-0,51 =

369

Аналогично при исходе

Х а^ = 1

7 ( А а>

=

1) =

414-0,34 + 324-0,66 =

355.

б) Риск продолжения опытов после

эксперимента

а2

с исходом

Х йі = 0 равен

~?(Х

= 0 ) = 372-0,51 +414-0,49 = 394

При исходе Х а — 1

опыта а2

7 (X

= 1) =

366-0,36 + 324-0,63 = 339.

том

в) Риски проведения экспериментов первой стадии

а,

и дг

с уче­

того, что и в данном случае

при любых

исходах экспериментов

д, и аг р ( X

) = р° ( Ха ),

А: = 1,2,

соответственно равны:

Л

h

7=314 • 0,42+256 • 058= 281, "р= 320 • 0,4 + 240 • 0,6 = 272.

Сравнение величин [>° и р дает основание утверждать следую­

щее.

тов,

1. Принимать окончательное решение г0, не проводя эксперимен­

нецелесообразно.

следует провести эксперимент а2. При

2. На первой

стадии

любом исходе эксперимента аг (т.

е.

при

АГ0 = 0

или

Х а^ = 1)

дальнейшее

проведение

экспериментов

нерационально.

При

этом,

~>S2,

т-

е- решение о том, что

распознаваемый объект относится к

классу 2 г. Если Х а =

1, то следует принять

окончательное решение

г, (А'

=

1)-*£!,, т.

е. решение

о том, что

распознаваемый объект

относится

к классу I.

Р (Qija) ^ ацР (Qj/a),

(4.17)

где ац — некоторые числа для какого-либо

фиксирован­

ного і-го класса при всех

ошибочного решения

следующим образом.

Обозначим

через bji вероятность

принять гипотезу Я*.

в то время

как справедлива гипотеза Ну.

Ьн = Р(Ні \Нj).

(4.18)

ТП

оц = Р (Н і\Н і) = ' £ І Ьц.

(4.19)

Ш ■

m

1— X ьн

=

■

(4-20)

Пусть для каждого k-ro класса,

k = \ , . . . ,

m, величины

вероятностей ошибочных решений

bjk, j=/=k, равны меж­

ду собой; bik= b2k=

■■■= b m-ih,

тогда

bjk = cnl(m— l).

Если, кроме того,

положить

аі = а2=

. . . — ат = а , то

ßH = a/(m— 1), І^Я,

js^ni,

где

m — число

классов, для

которых Р( Пі | аѵ) # 0 .

Следовательно,

а ц ^ ( ш — 1)(1—а)/а,

іфі,

1

j ^ m .

Д2 і К )

( m - l ) ( l —а0)

, „ 01ч

Pi2j\aJ ^

а„

(

'

выполняется для всех ]фі,

j ^ m .

В противном слу­

чае

необходимо учитывать

(ѵ+1)-й признак, так как

при

ѵ-х признаках не обеспечивается

уровень

довери­

Р (Qi I аѵ) должно быть в 38 раз больше всех

других ве­

роятностей P(Q j|aJ, / ф і ,

т. д.

Значение ошибочного

решения ао может

быть вы­

г

= £

С р і Р і ,

(4.22)

/=1

где Pj — вероятности

гипотез Hj, а

ctj — соответствую­

щие вероятности ошибок.

Обозначим через

Сѵ+1

стоимость

определения (ѵ+

мента, выразится С(ѵ+1)—[—(1 — Р*) С. Очевидно,

что если

С(ѵ+І) + (1 - Р * ) с ^ С ,

(4.23)