Файл: Горелик, А. Л. Некоторые вопросы построения систем распознавания.pdf

0001

0000

0000

0100

1000

0000

0000

1000

# (ЛѴ К г ■Е 3) = (0100 0000) g) 0100

0000

0000

0001

0010

0000

0000

0010

= (0000 0100) =

# G (Л , Аг, А,).

Откуда следует

= А \ . А 2 *Аз,

(5.54)

G(At, А2, А3)

Т. е. в той группе наблюдений, где были установлены

А \ - А 2, тре­

буется дополнительно обнаружить наличие признака

А 3.

Заметим

при этом, что утверждения (5.53)

и (5.54) имеют смысл

необходи­

условия задачи запишутся в виде

соотношения

эквивалентности

К \ ■К 2 • К з • Лі + Кі ■К 2

• А\

■( К з *А2-\~К з

• А г ) —I.

(5.55)

Сокращенный в соответствии

с

(5.55) базис 6с[Ль А2;

К і , К ъ Кз]

имеет вид

/=0123

#

А, = 0 1 0 1

#*Л2 = 0011

#

К, =

0 101

(5-56)

# К2^1_о і'о

:# ' К з = 1 0 'і'Г

Г =

6 1 6 5

/ =

0,

1,

2,

3;

(5.57)

і =

6,

1,

6,

5,

где

/ и

і — номера

столбцов

стандартных

базисов Ь{А\,

ЛЛ и

Ь [ К и

К г ,

К А

в (5.56) представляют собой

Это означает, что # К ь # К 2 я # /(з

изображающие

числа элементов

К \ ,

К г

и К г ,

вычисленные

относи­

тельно базиса

Ь{Аі,

Л2]. Следовательно,

соотношения

/Сі = Лі, К2 = Лі,

К з = А і - \ - А г ,

(5.58)

уравнения

(5.55)

относительно К \ ,

К г ,

К з . Как видно

из

(5.57),

функции К і ,

К г ,

К з зависимы,

так

что

комбинации

значений

истин­

ности K t ,

К г ,

К з ,

отвечающие

столбцам

базиса Ь [ К и

К г ,

Кз]

с номе­

можно разрешить относительно Лі(Кі,

К г ,

К з )

и Л2(Кі, К г , К з ) .

Используя (5.58), можно любую

заданную

функцию F ( K i , К г ,

К з ) преобразовать к переменным Ль Л2 так,

чтобы

F [ K \ (Л4, Л2), К г ( А \ , Л2), К з ( А і ,

Л2)] = 0(Л ь Л2).

Преобразование выполняется при помощи унитарной перестановоч­

ной матрицы (Eij), которая строится так

же, как и перестановочная

матрица

(Кі,)'.

если столбец i=k переводится в столбец j=h,

то эле­

мент Ekh= 1,

остальные

элементы Ец = 0. Напомним,

что

булева

матрица

(Eij)

называется

унитарной, если в каждом ее

столбце со­

Например, если в соответствии

с первым вопросом задачи поло­

жить F ( K 1, К г , К з ) = К і - К з ,

то

изображающее

число

функции

0(Л Ь Л2) относительно Ь[Аі,

Л2] находится как

# (К і • Кз) = (0101 0000) <8)(£й) = (0Ю О)=#Л1-Л 2.

Таким образом, ответом на первый вопрос будет:

«В налете при­

мут участие тяжелые бомбардировщики и не будет

легких

бомбар-

Дйровщиков». Единица, стоящая

в 6-м

разряде

(t = 6)

#Е (Х і,

К 2,

К з )

переносится матрицей

(5.59)

в два

разряда

(/ = 0 и /= 2)

изоб­

ражающего числа

#G (A 1 ,

А 2) . Каждая

единица, стоящая в любом

другом

разряде

(£=1,5) # Ё (К ь

К ъ

К з ) ,

переставляется

только

в один разряд # 0 ( Л Ь А 2) ,

причем ни при какой

функции F ( K i ,

К г ,

К з )

мы

не получим

G = 1000 или 4j=G=0010,

т. е.

G = A \ - A

2

или

G = А 1• А 2-

Рассмотрим преобразование

# С (Л Ь А2)

® (£ Я)= # Т (К ,, Къ

Кз),

(5.61)

выполняемое

над

функцией

G(Ab А 2)

матрицей

( Е ц ) ,

транспониро­

ванной по отношению к матрице

(5.59).

Покажем, что определяемая

соотношением

(5.61)

функция F

( К і,

К г ,

К з )

в

общем

случае

при

произвольной функции G(Ab А 2)

удовлетворяет условию

G(Ai,

А г ) —> - F ( K i ( A i t А г ) ,

К г ( А \ ,

А г ) ,

К з { А і ,

/U)).

(5.62)

Действительно, так как произведение матрицы

( Е ц )

= (£ij)T, транс­

понированной

к унитарной,

на унитарную

матрицу

(Е ц) равно

( Е ц ) <S> (£«) = (бц )

+

( е ц ) ,

где

(öji) — единичная матрица,

а

(ец) — в общем

случае отличная

от нулевой симметричная девиаторная матрица,

то

умножая

(5.61)

справа на матрицу (Ец), получаем

#G (A b А2) ® ( Е зЧ) ®

(£ „)= #< ?(/!,,

А , ) +

+ #G (A ,,

Л2)®

(ея ) = # Е ( К ь К 2, К я) 2 >

( Е й ) .

численное относительно Ь [ А ь А 2]

изображающее число

( К \ ( А і , А г ) , К г ( А і , А г ) , К з ( А і , А г ) ) .

Поскольку в общем случае

# 0 ( Л Ь А2) — )-:[#G(A,,

A2)+ # G (A ,, Л2) ® (ец)],

то справедливость соотношения (5.62) доказана.

^Положим,

в соответствии со вторым вопросом задачи, G(Ai, А г ) —

--=Аі -А2, Тогда согласно (5.61) найдем

_

_

/0000

0010\

(ЮОО)®

/ 0100 0000 )

=

-Л ) <8> (£?<) =

0000

0010

\ 0000 0100 /

= (0000 0010) = #КцКг-К3.

(5.63)

Точно так же,

если

G ( А 3, А 2) =

А 1 - А 2 , то

, 0000 0010

# (Лі-Л2) ® ( Е н ) =

(0010)®

0100

0000

0000

0010

L0000 0100

= (0000 0010) = ^ К г К г - К з -

(5.64)

вики и истребители-перехватчики.

__

■К г ) ® ( £ іі) = (1010) =

Так как в переменных А и А2 #(АТ • К 2

= 4М 1, мы действительно убеждаемся, что А\

• А2— +Аі и А\ • А2— »-

—>-Лі.

мостью вида (5.61), будут в общем случае удовлетворять

соотноше­

нию импликации G(At, .. ., А п)— >F(Ki, .. ., К т ).

три типа

Пример 3. Предположим, что у противника имеется

мин: К і — осколочного действия, К 2 —осколочно-фугасного

действия,

ландшафта

и типа грунта и что можно

сказать о

свойствах

мест­

ности, если

известно, что противник применяет только мины осколоч­

но-фугасного действия [22].

грунт,

Вводя

обозначения

для высказываний: A t — каменистый

А 1 — песчаная почва,

А2— равнинная

местность,

Ä 2— холмистая

Кі —А і • А2 ~\~А1 *А 2,

К2= А і '\-А2,

А і ' А 2— >-А'з.

(5.65)

Сокращенный в соответствии с (5.65)

базис

&С[ЛЬ А2, К і ,

К 2, Кз]

имеет вид

# Л, = 0 0 1О 0 1 1

#

А г =

0 о

0 1 11 !

#

Кі =

1 1

00 0 1

1(5-66)

# К г = 0 0

11 11 1

# Кг = 0 1

00

1О 1

Базис (5.66) между столбцами Ь[Аи Л2І и Ьс[Кі, К2, Кз\, устанавли­

вает следующее соответствие:

/ =

0,

1,2,

3;

(5.67)

і =

1,5

2, 2,6,

3,7,

где / — номер столбца

Ь[А\,

А 21, а

і — номер столбца

стандартного

базиса Ь [ К і , К 2,

К г ] . Выражение (5.67)

показывает, что существуют

23 = 8 различных

решений

последнего уравнения

(5.65)

относительно

К г - Изображающие числа

#Дь # К 2,

# К г

в

базисе

&[ЛЬ

Л 2] для

каждого решения можно получить при различных комбинациях столб­

цов базиса Ь [ К і ,

К 2, К г ]

с номерами і=1,5; 2,6;

3,7 со столбцами ба-

зііса b[Ä\, Ai1 при /= 0; 2;

3 соответственно. Унитарные перестановоч­

ные матрицы

(Еij) X для каждого из решений

К 1)

) = К ^ ) (Л .

Л ), А — 1, , 8; / 7 = 1 , 2 , 3

(5.68)

і

X

0

1

2

3

1

2

2

3

1

5

2

2

3

2

1

2

6

3

3

і

5

2

6

3

4

1

2

2

7

5

5

2

2

7

6

1

2

6

7

7

5

2

6

7

8

А = 1.......

8,

(5.69)

причем # в ™ ( А и A ) = # F { K i ,

Кг, * ,) <g> (£ t,)v

8

8

# G {Ar, Л ) = Е #

G<x> {Аи Л ) = #

F (Кг,

к2,К 3Х8) Е (£*і)ѵ

х=і

Х=і

Перестановочная

(5.70)

матрица преобразования (5.70)

0000

1000

8

оно

(5.71)

(Л'.і) 'Е

0001

0000

’

Х=1

1000

0010

000 J