Файл: Белостоцкий, Б. Р. Тепловой режим твердотельных оптических квантовых генераторов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 65
Скачиваний: 0
При зависимости температуры от двух пространственных коор динат Т(х, у, 1) рассмотрение упрощается. Этому случаю соответ ствуют типичные задачи термоупругостп о плоской деформации и о плоском напряженном состоянии. Плоское напряженное состояние характерно для тонких в направлении z (призматических тел, в част ности для танкой пластины. В условиях плоского напряженного со стояния
|
|
|
O zz — СГ.-сг =CTyz = 0. |
|
|
|
|
(6-6) |
|||
Компоненты напряжений { О х х , |
о уу, оху), деформаций |
(гхх, гуу, |
|||||||||
гху) и перемещении (их, |
иу) |
при |
отсутствии |
объемных |
сил |
удов |
|||||
летворяют следующим уравнениям [см. (6-2) —(6-4)]: |
|
|
|
||||||||
|
|
дахх |
1доху __„ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
дх |
+ |
ду |
U; |
|
|
|
|
|
|
|
|
дахѵ |
, |
доуѵ __Л |
|
|
|
|
|
||
|
|
дх |
+ |
ду |
и’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е.'ж= |
- Ц Т ( а х х — ѵои!/) + O . J ; |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6-7) |
|
|
*ѴѴ = |
~2Г (аУУ — ™ хх) + «гТ; |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
___ 1_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г ху = |
20 |
°ху'’ |
|
|
|
|
|
|
|
дих _ |
|
диу _ |
1 I дих |
, диц |
|
|
|
|||
е*х = |
~дх'г |
£уу = |
~ду~’ е*у = ~ 2 \ d f + ~dx |
|
|
|
|||||
Компонента деформации zZI равна: |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
eZZ — — |
£ |
(ахх |
+ ауу) + |
« іГ . |
|
|
(6-8) |
||
Плоское |
деформированное |
состояние |
реализуется |
в |
длинных |
||||||
(в направлении г) |
призматических |
и цилиндрических |
телах. |
При |
|||||||
плоской деформации перемещения их и иѵ зависят только от двух координат X и у, а осевое перемещение uz= 0. В случае плоского деформированного состояния компоненты а Хх, о ѴУ, а х у , е хх , в уѵ, &хУ, их и иу также удовлетворяют уравнениям (6-7), в которых параметры Е, V , От необходимо заменить на £/(1—ѵ2); ѵ/(1—ѵ); іат(1+ѵ) соот ветственно. Осевое напряжение определяется следующим выраже
нием: |
(6-9) |
<Jzz=v(ffxx+ayv) — aTET. |
|
Приведем в качестве примера решения плоской задачи термо |
|
упругости для двух частных случаев — свободной пластины с |
изме |
нением температуры по толщине и цилиндрического стержня с осе симметричным распределением температуры, которые соответствуют наиболее распространенным конфигурациям активных элементов
о к г .
10—298 |
137 |
В пластине, свободной от поверхностных сил, при изменении температуры по толщине Т(г, I) реализуется частный случай .пло ского наипяжеиного состояния:
|
|
<T2z = tr.«= CT.v!/ = O!/2= 0. |
|
(6-10) |
||||
Отличные от нуля компоненты напряжений зависят от коорди |
||||||||
наты г: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
атЕ |
Г 1 |
, |
32 , |
— Т (z, |
1 |
|
-XX — 1 С Т У У |
— |
1 _ |
у |
2Л |
Л^т + |
2/;3 |
i) J ■ (6- 11) |
|
|
ft |
|
|
|
ft |
|
|
|
(6-11) JVT = |
j |
T (z, |
i) dz] |
A'IT — |
^ T (z, |
/) z dz, |
2h — толщина |
|
|
—ft |
|
|
|
|
- f t |
|
|
пластины.
В рассматриваемом случае компоненты тензора деформаций
принимают следующий вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
В Х Х — е ѴУ |
|
1 ,г |
|
3z |
1 . |
|
|
2/і "г |
2h3 ^ 1 ’ |
|
||||
|
2 о с т ѵ |
|
2h3 |
Mr ] ' |
1 + V |
( 6- 12) |
|
|
1 — V[ 2/г |
+ |
|
|
|||
|
exV — EVX — ezx = |
0- |
|
|
|||
Без учета |
перемещений тела |
как твердого целого компоненты іи |
|||||
равны: |
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
1 |
+ |
32 |
1 |
|
|
|
* = “тХ[^"2Л'^ |
2/i*/і» |
/WTJ ’ |
||||
|
Г |
1 |
+ |
32 |
1 |
|
|
|
“ н = “ ті/ I |
g/г |
2/і3 |
Л*т J’ |
|
||
|
ЗатМт |
(*2 + </2) + |
|
(6-13) |
|||
|
Н ------ 4/;3 |
|
I — V Л |
||||
|
|
|
|
|
|
--- =— |
V |
|
z |
|
|
VZ |
|
Зѵ2г |
|
|
Г |
|
|
|
Л/, |
||
X |
(1 + V) I Г (г, /) dz— -ң- NT- |
2Л3 |
|||||
При симметричном распределении температуры Г(г, /)= Г (—2,/) величина Мт=0 и компоненты е**, &ѵу, их, иѵ не зависят от рас пределения температуры по толщине, а определяются лишь усред ненным нагревом.
Для кругового цилиндрического стержня (сплошного или поло го), когда температура Т(г, 1) зависит только от расстояния до оси г, при отношении R/L<g. 1 (R —внешний радиус, L — длина стержня) и отсутствии осевых перемещений имеет место плоское деформиро ванное состояние, при /?/L> 1 и свободных от нагрузок торцах — плоское напряженное состояние.
138
В случае длинного полого цилиндра радиальные и тангенциальные компоненты напряжений '(см. рис. 6-1) записыва ются в виде
атЕ
(1 - ѵ ) г» ^r w S T { r ) r d r - \ T{r)rdr
R, R.
|
а-Е |
J — |
^ -ІГ (г )/- |
dr + \T (r )r |
dr—T (r) r- |
||
П ~ (1 — ѵ) /*2 |
|||||||
2 |
1R, |
|
R. |
|
|||
|
|
|
|
||||
В |
соответствии |
с (6-14) радиальное перемещение равно: |
|||||
|
«т(1 +ѵ) |
(1 — 2ѵ) г* + Щ |
|
Ra |
Г |
||
“г” |
/■(! — V) |
Я |
? - |
Л |
j Г (г) /т/г + |
j Т (г) гdr |
|
? |
R. |
||||||
|
|
|
|
|
R. |
||
(6-14)
(6-15)
Решение задачи для плоского напряженного состояния также описывается соотношениями (6-14), (6-15) при замене £7(1—ѵ2), ѵ/(1—ѵ), a T(l+ v ) на E, v, ат соответственно.
При плоском деформированном состоянии
|
|
— v ( |
' + ’чхр) — атЕТ= |
|
|
|
2a_£v |
Ra |
|
||
|
aTE |
(6-16) |
|||
(1 ■*)(«! b ^ |
r l Tlr)rdr- |
||||
|
|||||
|
|
|
R. . |
|
|
Выражение |
(6-16) |
описывает осевое напряжение ozz при закреп |
|||
ленных-торцах |
(«г=0). Осевое напряжение при свободных торцах |
||||
стержня равно |
сумме |
радиального агг и тангенциального |
на |
||
пряжений |
|
|
|
|
|
|
атЕ |
|
rdr — Т (г) |
(6-17) |
|
°iz = |
Т ~ |
|
|||
|
|
|
|||
Осевое перемещение без учета движения цилиндра как твердо го тела и осевая деформация определяются соотношениями:
Ra
(6-18)
10 |
139 |
В этом случае радиальное перемещение равно:
Г(1-Зѵ) Г-+ (1+ѵ) R.2
( І - И ) ^ ( г ) rdr+ |
|
Т (r)rdr |
г(1 |
R i - R i |
-S |
R, |
|
R. |
|
|
(6-19) |
Соответствующие выражения, описывающие напряженное состоя ние оплошного цилиндрического стержня, легко получить, полагая Ri=Q в соотношениях (6-14) —(6-19). В частности, для плоскодеформированного состояния при свободных от нагрузок торцах ци линдрического стержня радиуса R имеем:
ат£
|
а JE |
|
|
|
(6-20) |
|
VV= |
о^Г-Ч ')'^ 1* + г г-2Г (/■)]; |
|||||
|
||||||
|
а.Е |
—D |
|
|
||
« « = Т = Т І Г |
|
|
||||
«»■ = 2-(1а1 ѵ) [(1 - |
3v) T R- |
(1+v) f '■] + |
*,T |
(г); |
||
^ = 2 T f e r t ( l - 3 v ) ^ + ( l + v ) r - ] ; |
' (6-21) |
|||||
|
EZZ ~ |
a TTRJ |
|
|
||
“ r = 2 ( ° rI . v ) |
[ ( 1 + |
V) T r + ( 1 - |
3 v ) T R ] ; |
(6-22) |
||
|
|
|
|
|
||
и г — aTz T R .
где
Г
f = ^ T (r )r d r .
о
Ha основании приведенных выше соотношении и. результатов анализа теплового режима, изложенных в гл. 2—4-, можно исследо вать характер напряжений, деформаций и перемещений, возникаю щих в. активных элементах твердотельных ОКГ. \
В последующих § 6-2 и 6-3 анализируется напряженное состоя ние активных элементов {Л. 6-6—6 -8] на примере цилиндрического стержня при осесимметричном распределении источников тепла.
6-2. РЕЖИМ ОДИНОЧНЫХ ИМПУЛЬСОВ
Для цилиндрического стержня, торцы которого свободны от нагрузок, во время действия импульса накачки компоненты напря жений в приближении плоской деформации определяются следую-
140