Файл: Основы динамики сооружений учеб. пособие.pdf

сооружений, в которых недопустимо появление остаточных дефор­ маций, коэффициент k принимается равным единице.

Так же как и в случае расчета по упругой стадии, при учете пластических деформаций для различных законов изменения на­ грузки во времени получены теоретические решения для определе­ ния эквивалентной статической нагрузки и вычислены значения динамического коэффициента как отношения эквивалентной ста­ тической нагрузки Рэкв к максимальному значению кратковре­ менной нагрузки Рт. Для различных численных значений k в за­ висимости от вида нагрузки получены значения динамического коэффициента, которые приводятся в справочных пособиях в виде формул, таблиц и графиков. Поэтому при практических расчетах в реальном проектировании конструкций эквивалентная статиче­ ская нагрузка определяется по формуле

ным данным в зависимости от вида нагрузки и ее параметров, от частоты колебаний системы и коэффициента k.

Система, рассчитанная на эквивалентную статическую на­

§ 46. Действие мгновенного импульса на систему

с одной степенью свободы при наличии пластических деформаций

Для определенности в качестве модели системы с одной степенью свободы возьмем невесомую балку с сосредото­

ченной массой т\ посередине (рис. 91). На массу в начальный момент времени t = ö подействовал мгновенный импульс 5. Восста­ навливающей силой или реакцией связи, наложенной на массу, здесь является сила, воздействующая со стороны невесомой балки

194

на массу. Зависимость между восстанавливающей силой F и пере­ мещением массы у принимаем по диаграмме Прандтля. Очевидно, что в этих условиях необходимо строить решение для двух слу­ чаев: во-первых, когда максимальное перемещение системы мень­ ше, чем максимальное упругое перемещение, и, во-вторых, когда оно больше. Первый случай — случай работы системы в упругой стадии — был рассмотрен "ранее в гл. 7. Однако для полноты кар­ тины мы его также рассмотрим, но не путем составления и реше­ ния дифференциального уравнения движения, а с помощью энерге­ тического метода. Этим же методом будет рассмотрен и второй случай, когда система станет работать в пластической стадии. Сущность энергетического метода здесь будет заключаться в при­ менении закона кинетической энергии:

закона об изменении количества движения найдем начальную ско­ рость массы:

которую приобретает масса в результате воздействия мгновенного импульса:

Работа внешних сил равна нулю, так как внешние силы отсут­ ствуют. Вычислим затем работу внутренних сил, которая при пере­ ходе оси балки из положения I в положение II будет величиной отрицательной, так как внутренние силы (в данном случае восста­ навливающая сила) направлены в сторону, противоположную дви­ жению массы системы. При произвольной зависимости между вос­ станавливающей силой F и перемещением у работа внутренних сил может быть вычислена на основе следующих соображе­ ний (рис. 92). Если масса системы получит некоторое элементар­ ное перемещение dy, то элементарная работа внутренних сил будет

dAv - — F(y)dy.

Полная работа внутренних сил, совершенная ими при переме­ щении массы на величину утах, определится путем интегрирова­ ния этого выражения в пределах от нуля до у та*:

т. е. будет равна площади

под графиком восстанав­ ливающей силы, заклю­ ченной в области от 0 до Утах (пЛОЩаДЬ, ЗЭШ ТрИ-

хованная на рис. 92).

В соответствии с эти­ ми соображениями рабо­ та внутренних сил для первого случая будет равна площади треуголь­ ника, заштрихованного на рис. 91, взятой с обрат­ ным знаком:

Приравняем изменение кинетической энергии (11.5) к работе внутренних сил (11.7) в соответствии с законом кинетической энер­

ГУmax = S«D.

Теперь в соответствии с выражением (11.1) можем написать формулу для определения эквивалентной статической нагрузки:

Рэкв = So).

Как и следовало ожидать, она в точности совпадает с резуль­ татом, полученным нами в § 27.

Переходим далее к рассмотрению 2-го случая: Ушах = кУе > Уе (рис. 93). Изменение кинетической энергии Ѵи — Ѵх остается та­

196

Если же k= \, то есть если в системе совершенно не допускают­

Этот результат естественен, так как при k= 1 система не вы­ ходит из упругой стадии.

Отсюда видно, что если для какого-то конкретного сооруже­ ния, рассматриваемого как система с одной степенью свободы, до­ пускаются при воздействии мгновенного импульса остаточные де­

197

формации, то эквивалентная статическая нагрузка будет меньше, чем при расчете по упругой стадии, а следовательно, при учете пластических деформаций сооружение может быть запроектиро­ вано более экономично.

§ 47. Действие силы, внезапно возрастающей до постоянного значения, на систему с одной степенью свободы

при наличии пластических деформаций

По-прежнему будем рассматривать невесомую балку с сосредо­ точенной массой посередине. Как и в предыдущем параграфе, бу­ дем пользоваться энергетическим методом, применяя закон кине­ тической энергии (11.4). В положении / (см. рис. 41), т. е. при ^ = 0, так же как и в положении //, т. е. когда y ( t ) = ymах, скорость дви­ жения массы равна нулю и, следовательно, в обоих положениях кинетическая энергия равна нулю, а поэтому Ѵп — Ѵ1 =0. В 'пра­

вой части уравнения (11.4) необходимо записать работу внешних и внутренних сил, совершаемую при переходе системы из положе­ ния / в положение II. Работа внешней внезапно приложенной и остающейся затем постоянной возмущающей силы, совершаемой

определяется как площадь заштрихованного1треугольника на диа­ грамме Прандтля (рис. 91), взятая с отрицательным знаком, т. е. определяется формулой (11.7). Приравниваем изменение кине­

что совпадает с результатом, полученным ранее (см. § 29) путем решения дифференциального уравнения. Динамический коэффи­ циент

В т о р о й с л у ч а й : утах > уе. Работа внешних сил опреде­ ляется выражением (11.10), а работа внутренних сил — площадью трапеции на диаграмме Прандтля, заштрихованной на рис. 93,

198