взятой с отрицательным знаком, т. е. определяется форму лой (11.8). Приравниваем изменение кинетической энергии работе внешних и внутренних сил:
ОРтУтах ГУе
Имея в виду, что ут:ІХ |
ky e, |
после сокращения |
на уе и пре- |
образований получим |
|
|
|
|
|
ГУе = |
_ 2 k _ |
|
|
2k — 1 |
|
На основании выражения |
(11.2) |
приходим к формуле для опре |
деления эквивалентной статической нагрузки: |
|
|
|
2k |
( 11. 12) |
|
Рвкв = 2kZ T \ Рт- |
Динамический коэффициент для рассматриваемого случая бу |
дет определяться по формуле |
|
|
|
и |
Рвкв __ |
2k |
|
ДРт 2 k - 1 ’
при k = 5 динамический коэффициент оказывается
при k = 1
kn — 2.
Как видим, учет пластических деформаций приводит к сниже нию динамического коэффициента.
§ 48. Действие кратковременной силы, меняющейся во времени по произвольному закону, на систему с одной степенью свободы при наличии пластических деформаций
Как показали выкладки предыдущих двух параграфов, приме нение энергетического метода быстрее и проще приводит к вы числению эквивалентной статической нагрузки. Однако эта про стота, к сожалению, является следствием простоты аналитиче ских выражений, характеризующих воздействие в рассмотренных частных случаях. Во всех же остальных случаях вычисление ра боты внешних сил, совершаемой при перемещении точки ее прило жения на величину угаах, наталкивается на трудности, которые ничуть не легче, чем непосредственное решение дифференциальных уравнений движения. Поэтому действие на систему с одной сте пенью свободы кратковременной нагрузки, меняющейся во вре мени по произвольному закону, будем анализировать, опираясь на дифференциальное уравнение движения. Здесь также возможны два случая.
П е р в ы й с л у ч а й : |
у тах-*СУе |
— случай |
получения макси |
мального перемещения |
системы в |
упругой |
стадии — нами был |
подробно рассмотрен в § 28, в соответствии с которым перемеще
ние системы в этой стадии |
может быть определено по формуле |
|
t |
|
у (0 = |
j* Р ( и) sin ш it ~ и) du. |
(11.13) |
|
о |
|
Для определения утах следует произвести известное из курса высшей математики исследование этой функции для нахождения ее максимума и минимума. Для некоторых конкретных видов на грузок такие исследования произведены в гл. 7.
В т о р о й с л у ч а й : |
у тах > |
уе. |
Составим |
дифференциальное |
уравнение движения массы |
(рис. |
94) |
|
|
m |
^ |
= - F |
+ P[t). |
(11.14) |
В отличие от упругой стадии, где восстанавливающая сила F пропорциональна перемещению у, в стадии пластических дефор маций восстанавливающая сила постоянна и определяется выра жением
Подставив (11.15) в (11.14), получим
щ d é ~= _ г ^ + р (^)-
Обозначим через te момент достижения системой максималь ных упругих деформаций у е и дважды проинтегрируем получен ное выражение в пределах от te до t:
|
t |
|
|
|
dy |
|
|
т |
dt IP (и) du - |
rye(t - |
te) + Cu |
t |
t |
|
|
т\У it) = j* d u ^ P ( u ) d u - ryj -■ 9 1 + |
Ct (t - te) + C 2. (11.16) |
*e
Постоянные интегрирования Cj и С2 здесь появились потому, что верхний предел интегрирования — переменная величина, вследствие чего интегралы не являются определенными. Постоян ные С] и С2 найдем из начальных условий
при t = te y(t) = уе; dy(t)
где ѵе — скорость движения массы системы в момент достижения ею перемещения у е. Из начальных условий получаем
|
С, = |
туов\ С 2= шууе. |
|
Подставив значения постоянных в |
(11.16) и поделив все на Ш\, |
получим |
|
|
|
|
t |
t |
|
|
|
У {t)=~ k j* dtt j* P{U) du ~ |
ГУЛ2 щ |
е)г + Ve(t - |
te) + y e. (11.17) |
В этом выражении нам не известны пока te и |
ѵе. Величины уе |
и ѵе представляют собой перемещение и скорость массы в конце
упругой стадии. |
|
Считая у е известным и |
используя выраже |
ние (11.13), |
составим уравнение для определения |
момента вре |
мени t — te, |
который соответствует максимальной |
упругой дефор |
мации системы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Р (и) sin <о (t — |
и) du. |
|
(11.18) |
|
|
|
m,(ü |
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем |
далее |
выражение для скорости движения |
массы |
в упругой стадии, продифференцировав выражение |
(11.13) |
по пра |
вилу дифференцирования интеграла по параметру: |
|
|
dy (t ) |
_ |
d_ |
|
P (u) sin u>(t — u) du |
|
|
dt |
~ |
dt |
my> |
|
|
|
|
|
|
о
= Ш- ,fJP(u) cos cd(t — u) du.
Подставив сюда вместо t значение te, найденное из уравне ния (11.18), получим формулу для определения скорости движе ния массы в конце упругой стадии:
|
te |
|
ѵе = |
J* P (и) cos cd(te— u) du. |
(11.19) |
|
о |
|
Далее необходимо, исследуя функцию (11.17), получить выра
жение для максимального значения перемещения утах |
и, имея |
в виду, что _утах — kye, разрешить полученное уравнение |
относи |
тельно гуе> т. е. найти'зависимость для определения эквивалент ной статической нагрузки Р экв = гуе.
Проиллюстрируем порядок решения в рассматриваемом слу чае на примере внезапно приложенной постоянной нагрузки '
Р (t) = Рт = const,
для которой в предыдущем параграфе уже было получено реше ние энергетическим способом.
Из условия (11.18) |
определяем |
момент времени te, |
в который |
достигается максимальное упругое перемещение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рт sin со (te — а) da, |
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— " Y |
I COS ü) ( t s — а ) |
'о |
|
(1 — cos (ote). |
|
|
|
т jo ) 2 |
1 |
ѵ |
в |
' |
|
|
|
|
|
|
Имея в виду, что г=ті(й2, отсюда получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos iot. |
|
ГУе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По формуле (11.9) определяем ѵе: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,, |
ч fe |
|
Рщ |
■ |
J. |
P mV l — COS<ot. |
|
|
Sin ü>(te — u) |
I e = |
|
— sinude = — — |
|
— |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m,a> |
|
Подставляя сюда значение cos wte из предыдущего выражения, |
после несложных преобразований получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ Ѵ гу е{2Рт- г у е) |
|
|
|
|
(а) |
|
|
|
|
|
|
OTjü) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисляем первое слагаемое выражения |
(11.17): |
|
|
|
t |
|
t |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
^гИ |
Pmdu = — |
[ Pm {и - t e)du = - Pm{t |
|
te)2 |
|
|
|
m , |
|
|
|
|
|
2tnl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
le |
|
|
|
‘e |
|
|
|
|
|
|
|
|
и для определения y (t) |
получаем следующее выражение: |
|
y(t) = ( Р т - Не.) (t - |
t')* + |
v e( t ~ |
te) + ye. |
|
(6) |
|
|
|
|
2m 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Из условия |
dy (t) = 0 определим момент времени, в который пере |
мещение y(t) |
получит максимум, |
т. |
е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
гУе (і — te) + |
^ = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
т , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
