Файл: Основы динамики сооружений учеб. пособие.pdf

§ 2. Степени свободы систем

Прежде чем приступить к расчету конструкции на действие динамической нагрузки, необходимо установить число степеней свободы данной системы. В динамике сооружений под свободой системы понимают возможность перемещения масс системы за счет деформации ее эле­ ментов. Число степеней свободы системы равно количеству независимых геометрических парамет­ ров, определяющих поло­

в значительной мере оп­ ределяется точностью рас­ чета. Чем большее число степеней свободы учиты­ вается при расчете систе­ мы, тем точнее, но, как правило, и сложнее ее расчет на динамические нагрузки. Отсюда естест­ венно стремление при ди­ намическом расчете вы­ брать такую расчетную систему, которая имеет возможно меньшее число степеней свободы, но обеспечивает требуемую точность расчета. Отме­

тим, что во многих практически важных случаях удается ограни­ читься небольшим количеством степеней свободы, так как за­ частую основной вклад в описание движения системы дают не­ сколько степеней свободы, а влияние остальных незначительно.

Для пространственной упругой системы положение на ней лю­ бого твердого тела, имеющего конечные размеры, в общем случае определяется шестью параметрами, причем три из них характе­ ризуют линейное перемещение тела и. три—-поворот. Такое тело будет иметь шесть степеней свободы.

В дальнейшем будут рассматриваться плоские системы.

Для плоской упругой системы положение твердого тела опре­ деляется только тремя параметрами: двумя, характеризующими линейное перемещение тела, и одним, характеризующим поворот.

8

свободы. Если же условно принять, что масса тела сконцентриро­ вана в точке, то положе­

возникающими при повороте тела, и получили систему с двумя степенями свободы.

Если пренебречь продольными деформациями стержней систе­ мы, не учитывать сближения их концов при изгибе и заменить дуги траекторий движения точек системы отрезками касательных, то количество степеней свободы можно еще уменьшить. Так, поло­ жение массы на конце консоли при этих предпосылках будет опре­ деляться лишь одним параметром — ее вертикальным перемеще­ нием (рис. \,в). Горизонтальное перемещение в силу принятых допущений равно нулю, и масса будет иметь одну степень свободы.

В динамике сооружений при рассмотрении колебаний стерж­ невых систем при подсчете числа степеней свободы силы инерции поворотов для тел, имеющих не­ большие по сравнению с длина­ ми стержней размеры, обычно не принимаются во внимание ввиду их малости. По этой же причине при расчете балок и рам не учи­ тываются продольные деформа­ ции и сближение концов стерж­ ней при изгибе, а дуга траекто­ рии движения точки заменяется

отрезком касательной.

Опираясь на эти допущения, рассмотрим примеры определе­ ния числа степеней свободы.

Для нахождения положения точечной массы, расположенной на невесомой балке (рис. 2), достаточно знать вертикальное пере­

мещение массы в любой момент времени. Это будет система с од­ ной степенью свободы.

9

определяется двумя независимыми перемещениями у і и у2. Это пример системы с двумя степенями свободы.

Заметим, что число степеней свободы упругой невесомой системы, несущей точечные массы, может быть определено, если путем постановки связей привести систему к такой, в которой не­

свободы. В этом случае необходимо поставить только три связи, чтобы лишить массы возможности перемещаться.

Такая же рама, но с тремя точечными массами (рис. 6), будет иметь четыре степени свободы. Каждую массу, расположенную на стойках, необходимо закре­ пить одной связью для устра-

т

нения горизонтальных перемещений, а массу, расположенную на ригеле, двумя связями, чтобы лишить ее возможности переме­ щаться по вертикали и горизонтали за счет изгиба ригеля и стоек.

Рассмотренные примеры показывают, что число степеней сво­ боды не определяется количеством точечных масс и не зависит от

того, является ли система статически определимой или статически неопределимой.

10

Если масса упругой системы распределена по длине стержней этой системы, то она может быть представлена как совокупность

нечным числом параметров. Такая система с распреде­ ленными массами имеет бес­ конечное число степеней свободы. Однако в зависи­ мости от требуемой точ­ ности расчета распределен­ ную массу можно заменить конечным числом сосредото­ ченных масс и рассматри­ вать как систему с конеч­ ным числом степеней сво­ боды.

Так, простая балка, не­ сущая распределенную мас­ су (например, собственную массу и массу опирающейся

на нее части перекрытия), является системой с бесконечным чис­ лом степеней свободы (рис. 7, а). Однако эту же балку можно разбить на п участков и массы этих участков сосредоточить в их середине (рис. 7,6 и в). Тогда получим систему с п степенями свободы. Чем больше участков мы возьмем, тем точнее, но тем

и сложнее будет расчет.

Иногда массы участков сосре­ доточивают не на их середине, а распределяют на границы участ­ ков по закону рычага (рис. 7,г). В этом случае при п участках получаем систему с п—1 сте­ пенями свободы, так как массы на опорах влияния на колебание балки, с учетом принятых допу­ щений, не оказывают.

Например, если разбить бал­ ку на два участка (рис. 8), то, заменяя распределенную массу

сосредоточенными по первому способу, получаем систему с двумя степенями свободы. Производя замену по второму способу, полу­ чаем систему с одной степенью свободы.

11

В заключение отметим, что существует еще один важный прием сведения системы с распределенной массой, т. е. с бесконечным числом степеней свободы, к системе с одной или несколькими сте­ пенями свободы. Он применяется тогда, когда удается предугадать форму колебаний системы и описать ее одной или несколькими

функциями. Допустим, к примеру,, что уравнение колебания балки вы­ ражается в виде произведения двух функций, одна из которых T(t) зависит только от времени t, а вто­ рая Х (х ) — от абсциссы х, отсчи­ тываемой по пролету балки, описы­ вает форму колебаний и за­ дается нами из физических пред­ ставлений:

П е р в ы й м е т о д использует непосредственно дифференциаль­ ные уравнения движения, составленные для каждой массы системы в форме закона Ньютона. Так, например (рис. 9),

здесь mk — рассматриваемая масса;

"^ проекция всех приложенных к массе сил на верти­ кальную ось у,

— Fk, k-\ — Fk, ft+ i T “ Pk(t)\

d2y

k ускорение, приобретенное массой и имеющее на­ dt2

правление равнодействующей.

Все массы системы при этом предполагаются отделенными от

наложенных на них связей, а действие последних на массы заме­ няется силами, равными реакциям связей.

12