Файл: Олянюк, П. В. Оптимальный прием сигналов и оценка потенциальной точности космических измерительных комплексов.pdf

ординат точки наблюдения . Оно тождественно

трем скаляр ­

ным

случайным

полям,

к а ж д о е из которых характеризуется

соответствующим

функционалом

плотности

вероятностей.

П р и

этом расчленение

закона

распределения

реализации

цессов в отдельных

точках

пространства

в

общем

случае

т а к ж е невозможно .

Такое

разделение оказывается

возмож ­

ным л и ш ь при отсутствии корреляционной

связи между соот­

ветствующими

случайными

процессами.

Аналитические в ы р а ж е н и я для функционалов

плотности

вероятностей

скалярных компонент

векторного

случайного

поля нормального типа могут быть получены

из

в ы р а ж е н и я

для

функции

распределения

дискретных

значений

нормаль ­

ного

случайного процесса,

которое

имеет

следующий

вид:

о > ( П / ) = —,—. .. , 1 г—

ех р I

^ - [ п т В - ' п ] 1 ,

v "

( 1 / 2 * ) * V d e t B „

-1

2

" 'J

(1.4.1)

где

n — /г-мерный

вектор-столбец,

компонентами

которого

торой равен

k; п т

— транспонированный

вектор-столбец;

В — корреляционная

матрица помех, и м е ю щ а я

квадратну ю

форму kX[k;

clet В„ — определитель

матрицы .

Вводя матрицу С, обратную корреляционной матрице В„,

показатель

экспоненты формулы

(1.4.1) можно

записать в

виде

к

k

_ i - n T B - > n = - i - n T C n = - | - 5 ] 5 ; f t

< « y C i y ,

(1-4.2)

где, по определению,

С В „ = I — единичная

матрица,

что рав ­

ноценно соотношению

к

2

[О при i Ф j .

m = l

Составим в ы р а ж е н и е

дл я функционала плотности вероят­

нал

получается из (1.4.1),

если устремить к

бесконечности

число точек разбиения отрезка времени существования

шума

(и, значит, если устремить к нулю временной

интервал

меж ­

ду

точками р а з б и е н и я ) :

w [ n ( 0 I

= Hmrc)[n,].

(1.4.3)

ft — то

д -о

П р и увеличении числа точек

разбиения

области

изменения

аргумента

двойная

сумма

(1.4.2), с т о я щ а я

.в показателе

экс­

поненты '(1.4.1), стремится к двойному интегралу

l i m l

— V ^

пд.с,:

-

J j n (ti) n(t2) a{tu

t^dti

dt2,

о 0

(1.4.4)

си=а{11г

t,)&,

(1.4.5)

которое можно записать в

виде

d-c

=

adtidt2

или

в

виде

а =

d'1c/dtidt2,

где

ctj

— элемент

матрицы

С, обратной

корреляционной.

Иначе

говоря, если

случайный процесс n(t)

дифференцируем,

т т

о о

(1.4.6)

, , nitfriitjadtydtt,

3*

35

причем

функция

a(tlt

/2)

связана

с коэффициентом

корреля ­

ции

интегральным

уравнением

г

t2)a(tx,

t,)dt

=

b(t1 — t-2),

(1.4.7)

о

которое

является

аналогом уравнения

CB

= I.

(1.4.8)

Вводя функционал

г

^n{t2)a{tu

t2)dt2=z{t),

(1.4.9)

6

предел квадратичной формы, стоящей в показателе

нормаль ­

ного

закона распределения,

можно

переписать

следующим,

образом:

*

*

\

т

lim

1 £

£

ninjcij\

= -

- L j

Л ( 0 г ( 0 Л ,

(1-4.10)

П -у «

1 - 1 у - 1

где

2*(tf)

определяется

уравнением

(1.4.9.), которое

эквива ­

лентно

условию

т

n(t)=

|'B(f,

u)z(u)du,

(1.4.11)

6

в чем нетрудно

убедиться,

умножив

уравнение

(1.4.7) на

ii{h)

и проинтегрировав

обе его части

в пределах

от 0 до Т.

П р и

стремлении

к

бесконечности

количества

интервалов

стоящий перед

экспонентой, т а к ж е устремляется к

бесконеч­

ности,

однако

это не вызывает затруднений,

так как в

рас­

сматриваемых

з а д а ч а х

мы пользуемся отношением

функци­

оналов

плотностей вероятностей,

которое

сохраняется

при

этом

конечным.

В ы р а ж е н и е

дл я функционала

плотности вероятностей

ста­

ционарного

некоррелированного

случайного

процесса

(«бе­

лого» шума)

несколько упрощается . Так как при этом

.

B(tlt

ti) = ^ Z ( t l - t s ) ,

(1.4 12)

где N0

— спектральная

плотность

шума, то z(t)=n{t)

и

! / m

i - T S I " ' ' ^ ) = - ^ . f " !

W * -

( , - 4 | 3 >

Т а к им образом, в случае

некоррелированных

шумов ин­

теграл, стоящий в показателе

экспоненты, в ы р а ж а е т энергию

ф л ю кту а цион но го про цесс а.

К а к отмечалось,

случайное

поле является функцией точки

в четырехмерном

пространственно-временном

многообра­

борки значений

нормального поля и з о б р а ж а е т с я

формулой,

аналогичной формуле (1.4.1):

w[n,,r]

= Kexp j - ^ I n ^ B - 1 n] j ,

(1.4.14)

борка

формируется в данном случае не только

за

счет

раз ­

биения времени действия помех на

отрезки At,

но и за

счет

разбиения пространетвеиой

области

з а д а н и я поля на

неко­

торые элементарные объемы AV. Если число таких элемен ­

тарных

объемов равно /, то объем

выборки будет

составлять

m = kl.

Устремляя объем выборки

к

бесконечности,

перейдем

от функции распределения

(1.4.14)

к функционалу

плот­

Этот

предельный переход

подобен тому, который представ ­

лен

формулой (1.4.4), однако теперь

вместо

функции

n(t)dt,

необходимо использовать

функцию n(t,

г)

dtdV

и произво­

дить

интегрирование не только

по времени,

но и по

объему,

в

котором

располагаются

приемные

антенны. Ясно

т а к ж е ,

что

вместо

коэффициента

временной корреляции

ct{tu

h) не­

обходимо

использовать

коэффициент пространственно-вре­

менной корреляции a (tit

t2; ru

г 2 ) . В

результате

приходим

к

функционалу^

л(£,

r)z{t,

x)dtdV,

(1.4.15)

О V

n((,r) = J ^B{t,v,-,

p)z{t,p)dtdV.

(1.4.16)

ного н о р м а л ь н о г о - э л е к т р о м а г н и т н о г о

поля получаем соот­

ношение

w\nt,,] = ATexpf— у Г Гя(* , r)z(t,

r)dtdV,

(1.4.17)