Файл: Олянюк, П. В. Оптимальный прием сигналов и оценка потенциальной точности космических измерительных комплексов.pdf

странственно-временной фильтр, функционирующий

в тече­

ние интервала постоянства определяемых параметров

д в и ж е ­

мальную

с точки

зрения

определенных

критериев.

Особенностью

обобщенных

пространственно-временных

фильтров,

к числу

которых могут быть отнесены космиче­

ские,

ракетные

и

другие

радиотехнические комплексы, яв­

ляется

сложный

характер

зависимости

между определяемы ­

11.2. Отношение

правдоподобия

Н а и б о л е е существенным элементом

плотности

вероят­

ности принимаемой

смеси сигнала

и шума

является

отноше­

ние правдоподобия .

Формульные

зависимости, и з о б р а ж а ю ­

нала, можно получить, подставляя в формулу

(II.1.9)

анали ­

тические

в ы р а ж е н и я

для

сигналов и плотностей вероятности

помех с

учетом законов распределения векторов неинформа ­

тивных

параметров

р и

неопределяемых параметров

д в и ж е ­

ния q„.

Д л я упрощения

задачи ограничимся

случаем,

когда

параметров

считается известной, а

все

неизвестные

п о п а д а ю т

в категорию определяемых величин. П р и этом

произведем

вычисление

отношения

правдоподобия

только

д л я одиноч­

ного

сигнала

со

случайной

начальной

фазой,

р а в н о м е р н а

распределенной в

интервале

от 0

до

2 я : ш(.р) = 1/2

я .

П о л а г а я , что к числу неинформативных параметров

сиг­

нала

относится

только

н а ч а л ь н а я

ф а з а р,

из

ф о р м у л ы

(II.1.10)

д л я

отношения

правдоподобия

получаем

следую ­

щее

соотношение:

r,$)dVdt

сф,

(II.2.1)

(II.2.2)

VT

— энергия сигнала, действующего в

объеме V.

Отношение правдоподобия в ы р а ж а е т с я с помощью инте­

грала

от

экспоненциальной

функции,

аргументом

которой

выступает

произведение

некоторой

постоянной

величины

на

z=[\y[t,

r)s{t, г,

§)dVdt.

(П.2.3)

VT

П р и проведении

вычислений

будем

пользоваться комп­

s(t,

r) =

A(t,

г) exp

+ р ) ] ,

(II.2.4)

n.{t,

r) =

N[t,

г)ехр(Ш),

(II.2.5)

y(t, r) = Y(t,

r) exp (до/),

(II.2.6)

г д е

A(t,

)•) — A exp (— ikr) = A{t, r)expfc(t,

/-) exp (— ikr)\

N(t, r) = N(t,

r)explicit,

/•)];

Y(t,

r) =

A(t,

r ) e x p #

+

+

N(t,

r).

Использование

комплексных

выражений

позволяет

при­

д а т ь интегралу

(11.2.3) следующий вид:

z =

\\y(t,

r)s{t,

r)dV

dt=~Re

I ЦУ(Л r) exp (mt)A{t,

r)X

TV

2

I T V

X e x p [ i K +

p ) ] d K < t f + f j K ( f ,

r)exp(i«>t)A*(t,

г)

X

r V

X

e x p [ — i M - f - p ) ] d l / d * J .

(II.2.7)

Комплексные

амплитуды Л и У изменяются в

пределах

четырехмерного

объема TV сравнительно

медленно,

а

дли­

риода,

высокочастотного

колебания,

поэтому под знаком вре :

менного интеграла первого слагаемого суммы

(II.2.7) будет

н а х о д и т ь с я быстроосциллирующая функция,

с т р е м я щ а я с я к

даулю.

Следовательно,

z = — R e

\\У

A* exp (-ip)

dVdt.

(II.2.8)

2

'f V

В свою очередь, вводя обозначения

2

J f Y(t,

r)A*(t,

r)dVdt

,

(II.2.9)

TV

cosO =

R e j J K ( * , r)A*(t,

r)dVdtjZ ,

(II.2.10)

T V

\nQ = \m^Y(t,r)A*(t,

r)dVdtjZ,

(II.2.11)

T V

интегралу

(II.2.3)

можно

придать

следующий вид:

.z=Zcos(>p — 0).

В итоге дл я отношения правдоподобия

получаем

следую­

щее

соотношение:

э

2-

">Z

'(y/q) = -77- е

Л'„

ехр

• ^ - c o s ( P - O )

/7v

Л'„

/V,о

(II.2.12)

где

/o(.v)

— модифицированная

функция

Бесселя

нулевого

порядка .

Интеграл

JJ

1

Y(t,r)A*(t,

r)dVdt

(II.2.13)

Z —

тегралом

или взаимокорреляционной

функцией

поля

сигна­

ла и поля принимаемой смеси сигнала с шумом .

Таким образом, процедура нахождения оптимальной оцен­

ки параметров д в и ж е н и я сводится к

определению простран­

ственно-временного корреляционного

интеграла

Z, а

опти­

м а л ь н а я

фильтрация сигнала заключается в

пропускании

чениями параметров движения, определение которых

являет ­

ся целью измерений. В связи с этим на приемной

стороне

метрах движения,

и только эта информация реально м о ж е г

быть использована

для формирования опорного сигнала.

пользование

опорных

сигналов,

формируемых

на

основе

априорных данных и лишь с

известной

степенью

точности

совпадающих

с реально

действующим

сигналом.

Поэтому

под

пространственно-временным

корреляционным

интегра­

лом мы будем подразумевать интеграл

z

=

- L

Y(t,

nAlit,

ra)dVdt

(II.2.14)

2

T V

в котором

фигурирует

опорный

сигнал Aa(t,

/-„),

формируе ­

мый по априорным данным о

параметрах

движения .

Интеграл

(II.2.14) по своей

форме сходен с корреляцион ­

ным

интегралом,

описывающим

процедуру

оптимальной

фильтрации

радиолокационных

сигналов

[27]. Однако

между

этими интегралами

существуют

весьма

значительные

разли ­

чия. Основное из них связано с особенностями

принимаемого

сигнала и заключается

в том, что если

обычно

в

качестве

опорного

используется

сигнал

с

постоянными

п а р а м е т р а м и ,

ляционого интеграла является

то, что в

нем фигурирует не

напряженность

поля

сигнала,

а

объемная

плотность

сиг­

н а л а .

Итак, определение отношения правдоподобия дл я поля

одиночного сигнала с постоянной случайной

фазой

(по

дан ­

ной ранее классификации — это сигнал второй модели)

сво­

дится к

определению

корреляционного

интеграла,

равного

модулю четырехкратного интеграла от произведения

плот­

ностей опорного сигнала и принимаемой

смеси

сигнала с

шумом,

Из приведеного

анализа следует, что для одиночного

сиг­

нала с нулевой начальной фазой

(т. е. дл я

сигнала

первой

модели)

отношение

правдоподобия

в ы р а ж а е т с я

формулой

/ ( y / q ) = e x p ( - 3 / y V 0 ) e x p ( 2 Z 1 / ^ o ) ,

(II.2.15)

где

Z , =

4 - R e

f j

r)KV>

ra)dVdt.

(II.2.16)

1

TV

Эти

соотношения

получаются

из

зависимостей (II.2.1)

л

(.11.2.8),

если в них

положить начальную фазу

сигнала

(5

равной

нулю.

Теперь приведем

в ы р а ж е н и я

дл я

отношения

правдоподо­

формул

для соответствующих

моделей

радиолокационных

сигналов [27], поэтому

производить

его нет необходимости.

Д л я

одиночных

сигналов со

случайной фазой и ампли ­

тудой отношение

правдоподобия

имеет вид

е х р

1

Z2

(11.2.17)

N0

3 +

N0

3 +

N0

Необходимо

заметить, что н а ч а л ь н а я

ф а з а

сигнала

здесь

предполагается

равномерно распределенной в

пределах

от О

до 2 л,

амплитуда

изменяется

по

некоторому

регулярному

закону, причем ее максимальное значение является

случай­

ным и

•распределено

по релеевекому закону, Z и Э

даются

ф о р м у л а м и (II.2.14)

и

(II.2.2) соответственно.

% ' Ч )

= П —

^ — ех р

1

(II.2.18)

где

1

\ с г*Y{t,

Z ' =

r)A'Jt.

ru)dVdt

T

s 2 ( A

r)dVdt

*

dVdt;

2

J J

T,

длительность

интервала

корреляции

флюктуации

амплитуды и фазы; k — число интервалов

корреляции, по­

падающих в пределы интервала измерений.

Вообще говоря, интегрирование по объему следовало бы

производить в пределах области пространственной

корреля­

ции

флюктуации

амплитуд и фаз, однако мы производим его

по

всей

области,

в

которой

р а з м е щ а ю т с я

элементы

прием­

ных

антенн космического

радиотехнического

комплекса V,

так

как размеры

области пространственной

корреляции обыч­