Файл: Загальская, Ю. Г. Геометрическая кристаллография учеб. пособие.pdf

на позиции, не занятые особыми направлениями, поставить едини-

—(О

а/2. Для осей 4 и 4 (= 4) «/2 = 45°, и эти направления называют

__ (О

диагональными, для осей 6 и 6 (= 3) а/2=30° — апофемальными

(L44L2=422, L $ P = 6m m ). Для осей 3 и 3 (= 6) а/2=60°, а так как все направления, образующие между собой углы в 60°, в дан­

( X = Y = Z ) особые направления (4, 4, 2), на 3-й — диагональные, т. е. проходящие по биссектрисе углов между координатными ося­ ми (3Z-4 4L3 61,2= 432).

Таким образом, в международных символах записывают в ос­

используют лишь инверсионные оси, причем, если инверсионная ось не «перекрывается» поворотной того же порядка, ее обязательно надо фиксировать (не 3/т, а 6).

КВАДРАТЫ КЕЙЛИ

Нетрудно увидеть, что даже самая подробная форма обозна­ чения классов симметрии (система Бравэ), вполне достаточная для характеристики симметрии кристалла, не отражает полностью все симметрические операции соответствующего класса. Так, не учиты­ ваются правые и левые повороты вокруг осей симметрии, не запи­ сываются оси симметрии, операции которых «перекрываются» опе­ рациями осей более высоких порядков.

Общее число симметрических операций точечной группы (класса) определяет ее порядок; он соответствует числу граней общего положения, связанных операциями симметрии этой группы. Так, на рис. 12 изображена проекция класса 4//га и фигурка, раз­ множенная операциями этого класса. Фигурка повторяется 8 раз, следовательно, число симметрических операций этого класса — его порядок — равно 8. Перечислим эти операции:

27

90° против часовой стрелки).

Рис. 12. Стереограыма класса 4/т (черная точка в центре кружка означает, что под фи­ гурой находится такая же, но обращенная к читателю своей

изнанкой)54

г Таблица

4. а-+д = т (отражение в горизонтальной плоскости /п2).

О__

5.а-*-е=4 '= 4 _1 (зеркальный поворот на 90° по часовой стрел­

ке или инверсионный на 90° в противоположном направлении).

28

ГЛАВА II

СИМВОЛЫ ГРАНЕЙ И РЕБЕР КРИСТАЛЛОВ. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ КРИСТАЛЛОГРАФИИ

§ 1. Пространственная решетка кристалла. Закон постоянства углов и закон симметрии

Основная особенность кристаллического состояния заключается в трехмерной периодичности расположения материальных частиц. Простейшей симметрической операцией, которая совмещает друг с другом эквивалентные точки кристаллического пространства (мыс­ лимого бесконечным), т. е. приводит всю кристаллическую струк­ туру в самосовмещение, служит перенос, поступание — трансля-

Рис. 13. Структуры куприта Си20 (а), пирита F eS 2 (б), их простран­ ственная решетка (в)

ция, шаг симметрии. Геометрическим образом — э л е м е н т о м с и м м е т р и и , — задающим и осуществляющим такую трансляци­ онную повторяемость в трех некомпланарных направлениях, будет параллелепипедальная сетка — п р о с т р а н с т в е н н а я р е ш е т ­ к а (рис. 13). К понятию решетчатого строения кристалла (по В. И. Вернадскому и Н. В. Белову) достаточно непринужденно при­ водит анализ одного из основных свойств кристалла — его одно-

30

родности в современном ее понимании, т. е. с учетом дискретности материи. Однородным нужно считать такое тело, в котором вокруг любой его точки на к о н е ч н ы х расстояниях найдутся точки, экви­ валентные первой не только в физическом отношении, но и в г е о ­ м е т р и ч е с к о м , т. е. находящиеся в таком же окружении, как и первая точка. Пусть наше внимание привлекла некоторая исход­ ная, «нулевая» точка кристаллического пространства (рис. 14, а).

5

Рис. 14. Узловой ряд (а ); узло­ вая сетка (б ); пространствен­ ная решетка и ее элементарная ячейка (в ) ; к закону симмет­ рии (г)

На кратчайшем расстоянии а = а шш от этой точки находим точку 1г эквивалентную выбранной, т. е. такую, на расстоянии а от которой

в направлении вектора а должна находиться аналогичная точка 2. Продолжая рассуждение (0->-1->-2->-3-к..), получим прямолиней­ ный ряд (шеренгу) эквивалентных точек («узлов») с одинаковыми расстояниями между ними, причем между членами этого ряда не­ возможны дополнительные аналогичные точки. В некотором другом

направлении (&, рис. 14, б), не параллельном вектору а, эквива­ лентные точки также выстроятся в другую шеренгу с межузловым расстоянием Ь ^ а , и эти два непараллельных узловых ряда опреде­ лят собой бесконечную плоскую сетку — узловую сетку. Легат доказывается, что внутри петли сетки невозможна еще одна ана­ логичная точка. Приняв во внимание и третье направление — век-

тор с ^ Ь ^ а , получим трехмерную сетку также с пустыми ячейка­ ми — «пространственную решетку» (рис. 14, в). Таким образом, кристаллическим, т. е. математически чистым, однородным веще­ ством следует считать такое, в котором материальные частицы (или другие особые точки, например середины векторов менаду двумя частицами) расположены по закону пространственной ре­ шетки. Все остальные характеристики кристалла, входящие в его классическое определение — твердость, анизотропность, способ­ ность самоограняться,—легко выводятся, оказываются следствием его «решетчатого» строения.

31

Пространственная решетка позволяет достаточно просто объяс­ нить такие давно признанные принципы кристаллографии, как з а-

стиц в кристаллическом пространстве «управляет» пространствен­ ная решетка, можно считать, что грань кристалла — это материа­ лизованная узловая сетка, а ребро — материализованный узловой

кристаллизации (неравномерного питания, температуры и др.). Отсутствие в кристаллах осей симметрии 5-го п выше б-го по­

рядков (з а к о и с II м м е т р и и) также хорошо объясняется «решет­ чатым» строением кристалла, «вмешательством» пространственной решетки. Не повторяя общеизвестных доказательств этого положе­ ния, приводим здесь предложенное Н. В. Беловым, выгодно отли­ чающееся от других своей общностью п тем, что оно выявляет и подчеркивает некоторые интересные особенности кристаллической пространственной решетки.

Доказательство разбиваем на два этапа.

1. Установим минимальный угол между эквивалентными узло­ выми рядами и максимальный порядок оси симметрии.

Пусть два пересекающихся в точке А узловых ряда (рис. 14, г) определяются одним и тем же межузловым расстоянием, ми н и ­ м а л ь н ы м для данной пространственной решетки ( а = а т ш). Тог­ да в треугольнике А А ХА2 сторона А ХА2 должна быть либо равна, либо больше а (АхА2^ а ) , а следовательно, Z а^60°. Значит, если мы узел А берем на оси Ln, которая перпендикулярна к узловой сетке, построенной на рядах ААХ... и АА2..., то порядок оси не мо­

2. Установим допустимые порядки кристаллографических осей симметрии.

Любая узловая сетка всякой пространственной решетки пред­ ставляет собой параллелограмматическую сетку, а следовательно, как в этом нетрудно убедиться по рис. 14, б, в, г, обладает осевой симметрией 2-го порядка. Если в- кристалле есть ось нечетного по­

шего) порядка как результат взаимодействия оси Ln=2л+і с парал­ лельной ей осью 2-го порядка, присущей каждой сетке:

Ln=2k+\'L2 = L2n=ik+2-

Следовательно, если предположить, что в кристалле имеется ось симметрии 5-го порядка (п-<6 !), то окажется, что плоская сетка, перпендикулярная этой оси, должна иметь симметрию 10-го поряд­ ка, что противоречит только что доказанному ( п ^ 6).

32