Файл: Загальская, Ю. Г. Геометрическая кристаллография учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 89

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

В к у б и ч е с к о й сингонии координатные оси связаны равнонаклонной к ним осью 3-го порядка, поэтому они равномасштабны и

три единицы измерения одинаковы: a = ö=

c, т. е. единичная грань

отсекает р а в н ы е отрезки по всем трем

координатным осям. На

стереограмме проекция такой грани занимает строго определенную позицию — на выходе оси 3-го порядка.

В с р е д н е й категории поворотом вокруг главной оси симмет­ рии связаны лишь горизонтальные координатные оси, поэтому а = Ьфс и запись (111) говорит о равенстве лишь д в у х п е р в ы х параметров. На стереограмме единичная грань располагается на биссектрисе угла между горизонтальными координатными осями.

В сингониях н и з ш е й категории координатные оси не эквива­

лентны друг другу, поэтому параметры единичной грани по

в с е м

т р е м о с я м различны (а ф Ь ф с ) и за единичную грань

здесь

можно принять любую грань, пересекающую все три оси.

 

§6. «Четвертый» индекс в гексагональной сингонии

Вгексагональной системе, как уже упоминалось, в горизон­ тальной плоскости располагаются три эквивалентных направле­ ния, и, хотя для однозначного определения положения грани или ребра кристалла достаточно лишь осей X, Y, Z, иногда бывает по­ лезна и четвертая (горизонтальная) ось U (координатная система Бравэ) 14; так, тройка горизонтальных осей (X, У, U) упрощает операции размножения граней и ребер (точек) главной осью 3-го или 6-го порядков и позволяет подчеркнуть единство любых эле­ ментов огранения кристалла, связанных главной осью. Однако до­ полнительный — четвертый —■индекс в символе неудобен при ма­

тематических

расчетах, и его

обычно удаляют по

п р а в и л а м ,

р а з л и ч н ы м

д л я г р а н е й

и р е б е р (точек) .

сумма индек­

Рис. 18, показывает, что в символе любой г р а н и

сов по трем эквивалентным осям равна нулю, т, е. h-\-k—i, и по­ этому переход от четырехзначного символа грани к трехзначному и обратно особенно прост. В первом случае индекс і вычеркивают, во втором — вводят как сумму первых двух индексов с обратным знаком:

(hk.il) -> (hkl); (hkl) ->■ (h k h + k l).

Соответствующие переходы для символов ребер несколько сложнее. Очевидно, что вычеркнуть один индекс из четырехзнач­ ного символа ребра, т. е. просто приравнять о д н у из координат точки на ребре нулю, нельзя, так как это изменит его направление.

14 Трехосная система Миллера, в которой три эквивалентные координатные оси направлены под углом 0 =^9 0 “=?^ 120° друг к другу, здесь не рассматривается. Взаимные переходы между этими системами разобраны в задаче X.

39

Из рис. 19 видно, что изъять лишний индекс можно, если величину,

обращающую его в нуль, добавить ко в с е м т р е м первым индексам символа:

[rstiy/] = [г — w

s — w

w — w tf] =

[г — w

s — w 0 t\ =

=

[г — w

s — ш /] =

[гѴ/'].

 

Обратный переход:

 

 

 

 

[r's'f'] =

[r's'Of'] = [/■'+/

s'-j-/

/ t'],

где f — любое число, поэтому одному и тому же трехзначному символу [r's'f] будет отвечать бесчисленное множество четырех-

Рис. 18.

К

теореме

h + k = i .

AB — линия пересечения грани

(hkil)

с

плоскостью

осей

XYU.

По

построению BL\\OU,

A A B L ~ AANO, отсюда

Р + <7

_

Ч

 

Р '+ Ч

_

Ч

Р

~

п *

 

pq

 

 

nq ’

 

_1_

J ______ 1_

 

 

 

Ч

Р ~

п. ’

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

1

_ L

1

=

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

р

1

ч

 

п

 

 

 

 

 

 

-> 1 -»

РЧ

тогда h-f- k = i

Рис. 19. Взаимные переходы между трех­ значным и четырехзначным символами ребра

значнмх, и, чтобы сделать такой символ определенным, прихо­ дится вводить какое-либо дополнительное условие. Так, если по аналогии с гранями в символе [r'+f s'+f f t'] сумму первых трех

40

индексов приравнять к нулю 15 (хотя в данном случае это геомет-

рически и не оправдано), тогда

r' + s'

f =

- (r' + s'). Н =

= [2/-' — s' 2s' — г' — (r' + s')

3t'\^[rswt\.

Следует отметить, что после отбрасывания знаменателя индексы

ребра перестают быть координатами

избранной точки (М на

рис. 19), так как она сместится вдоль ребра, однако само ребро не изменит своего направления.

Примеры использования третьей горизонтальной оси в гексаго­ нальной сингонии приведены на рис. 20, а и б.

 

Рис. 20. Поворот вокруг оси

3.

 

а)_ ребра

J точки):

1; [2301]—^2. [0231]-»-3.

[3021] =

[23-1]—

[З М М 1

2 - 1 ]; б)

грани: 1. (325І)-> 2 ._ (5321)^-3.

(2531) =

= (3 2 -1 )-ь (5 3 -1 )-ѵ (2 5 -1 )

Чтобы не путать четырехосную установку Бравэ с трехосной Миллера, в трехзначные_ символы Бравэ можно вставлять точку.

При этом (hk-l) = (lik h + k l), a[rs ■i\ ={rs0t].

Введение дополнительной горизонтальной оси позволяет выби­ рать единичную грань в гексагональной сингонии двумя способами: она должна отсекать равные отрезки либо на осях XY, либо на

осяx_XU.

Символ грани в первом случае

(1121),

во втором —

( Ю Н ) 16.

 

 

 

 

 

 

 

15

На

практике

удобнее

приравнивать

дополнительный

индекс к

нулю.

16

Определяя символы граней кристаллов гексагональной сингонии, рекомен­

дуется сначала не обращать внимания на «лишнюю» ось U, не забывая, однако,

вставлять

индекс

по этой

оси (пли

точку)

в окончательный

ответ:

(Ш) = (hkh'-\-k I) или (hk-l).

 

 

 

 

 

41

§ 7. Индицирование кристаллов, не имеющих грани, способной служить единичной

В кубической сингонии единичная грань отсекает одинаковые отрезки по всем трем координатным осям, поэтому величины пара­ метров единичной грани не «входят» в значения символов осталь­ ных граней. Таким образом, для определения символа грани куби­ ческого кристалла надо лишь в любых единицах измерить отрезки, отсекаемые этой гранью на координатных осях, и взять отношение обратных величин:

fl • fe • I

OAQ ѣ

OBQ ш О С ,_________ 1 .

1

,

~ ~

ОА

OB

ОС ~~ ОА '

OB

‘

1

ОС "

В с р е д н е й к а т е г о р и и таким образом можно поступать только для граней, параллельных оси Z. Для определения симво-

Рис. 21. Средняя категория. Определение символов граней кристаллов, не имеющих единичной грани:

а) определение символа масштабной грани

(hk 1):

/г: k = OB : ОА = 3 : 2.

 

Символ мас­

штабной

грани АВС— (321);

б)

определение

единичных

отрезков:

ОА0( = ОВ0) =

OA-li(—OB-k) = 2 X 3 ( = 3 X 2 ) =

6 , ОСо— ОС

лов остальных граней нужно одну из них, пересекающую верти­ кальную ось и хотя бы одну из горизонтальных, принять за м а с-

ш т а б н у ю .

Если масштабная грань пересекает лишь одну из горизонталь­ ных осей, то, поскольку ОАафОСо, ей. присваивают символ (101). Такая грань сразу даст относительные единицы измерения по гори­

зонтальным (ОВ0— ОА0) и вертикальной

(ОС0) осям.

Если масштабная грань пересекает обе горизонтальные оси

(рис. 21), то ей придают

максимально простой символ {hk1),

где

 

 

 

и . £ _ ОАо .

 

 

= O B 'ОА

ОА '

OB

ОА ‘

OB

Такая

грань непосредственно даст единицу измерения лишь по оси

Z(OC

= OCo), тогда как OAQ{ = OBO) =OA-h=OB-k.

42

Смотрите также файлы