Файл: Живоглядов, В. П. Адаптация в автоматизированных системах управления технологическими процессами.pdf

Пример 2 . Пусть коэффициент ц входит в граничные ус­ ловия второго рода, т. е.

Как и в предыдущем примере, при квадратичной функции потерь находим оптимальную оценку [2. 28]. При а2^ ->■ оо

аза

g'a(x)=e ' sin^ rxJr~£j ■

2.3. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ ОБЪЕКТОВ,

ОПИСЫВАЕМЫХ УРАВНЕНИЯМИ В ЧАСТНЫХ РАЗНОСТЯХ

2. 3. 1. Оценка параметров по критерию минимума функции риска

Теорию статистических решений можно' применить для синтеза оптимальных алгоритмов идентификации и в случае, когда оператор объекта задан в виде разностных уравне­ ний типа (В. 31). Такой способ задания оператора удобен при выполнении вычислений на ЦВМ. Пусть адекватная матема­ тическая модель объекта имеет вид

<7[0,s]=<7o(«°[s]),

(2. 49)

(■s= 1 ,2 , . 2 .....l - l )

131

ставляет собой совокупность независимых случайных величин; <7о qK ..... qi — заданные функции. Тогда при известных начальных условиях для нахождения оптимальных в смысле минимума функции риска /?s=yW{fl7s) оценок ms* достаточно

/ —1

ql2,j-\\,u[Lj})Y\P{q,[K,j]\v.,q[K— ],j-\],q[h-,j— \]t

к=2

<?[*+!,/—1 ],п[к\/]) XP(q[l,j]\\>-,q[l-\,j-\\,q[t,j— \},

(2. 50)2

q[l— \,j],ul[j])\dQ.

2 . 3. 2 . Применение метода стохастической аппроксимации

Получение оптимальных алгоритмов связано с большой сложностью вычислений и получаемых структур оптималь­ ных ВУ, а также с необходимостью располагать определен­ ным объемом априорной информации. Поэтому представляет­ ся весьма интересной разработка простых, хотя и неоптималь­ ных методов оценки параметров, причем в случае распреде­ ленных объектов эта задача особенно актуальна в связи со сложностью самих объектов.

Методы Калмана и стохастической аппроксимации на за­ дачи идентификации распределенных объектов обобщаются достаточно просто [2. 30, 2. 31], если в качестве модели объ­ екта использовать линейное уравнение в частных разностях. Заменим в уравнениях (2. 49) действительные значения сиг­

налов q, и° и 1, и наблюдаемыми y,v°, vl , v, а значения пара­ метров ц — их оценками т. Воспользовавшись несколько бо­ лее общей, чем (2. 49), формой записи, получим

132

y[tf,sj—<7[K>s] = e lK»sb

Пусть уравнение (2. 51) линейно относительно искомых

значений т. Величину отклонения q[k, s] от у [k, s] и, следо­ вательно, близость оценок m[s] и параметров ц будем харак­ теризовать значением R математического ожидания (функ­ ционала) потерь I:

[В. 17, 2. 36], получим следующий сходящийся алгоритм Для вычисления текущих оценок m[s] неизвестных параметров:

где т [s] — убывающая функция, удовлетворяющая условиям

(1.101) Роббинса и Монро [В. 27, В. 28], например, типа —•

Для квадратичной функции потерь имеем

Если ц и у — скаляры и рассматривается лишь к-я точка, из (2. 54) с учетом (2. 51) получим

133

mls] = m[s—1 1 + т И

(2. 55)

Когда математическое ожидание градиента функции по­ терь отлично от нуля при m[s] = p, оценка будет смещена. Для устранения смещения необходимо подкорректировать ал­ горитм.

Предложен следующий способ [2. 31]. Вычисляется зна­ чение математического ожидания градиента критерия качест­ ва в точке т [s] = р,

Учитывая, что в точке оптимума градиент критерия качества должен быть равен нулю, вместо (2. 53), получим

Очевидно, что е зависит от статистических характеристик по­ мех. При s —*оо оценка т сходится к р. с. вероятностью единица.

Достоинства данного метода следующие: простота получе­ ния алгоритмов; текущая оценка m[s] получается из рекур­ рентного соотношения, для вычисления ее необходимо пом­ нить лишь предыдущую оценку m[s—1 ] и поступившую с объ­ екта новую информацию (при реализации алгоритмов на УВМ этот факт важен с точки зрения экономии памяти ма­ шины); меньший объем априорной информации, чем при на­ хождении оптимальных байесовых оценок.

Оценка «распределенного» запаздывания (коэффициента диффузии)

Объектом с «распределенным» запаздыванием называют объект [В. 54], описываемый уравнением диффузии

(2. 58)

134