Файл: Живоглядов, В. П. Адаптация в автоматизированных системах управления технологическими процессами.pdf

со

+ slnu>* J y(x,t)gz(x)dx\ - T (t)mf(t),

о

Сравним алгоритмы (2 . 78) и (2 . 42). Различные по фор­ ме, при выборе у (/) =/С (t) они совпадают.

Применение настраиваемых моделей

Пусть параллельно объекту подключена модель с фикси­ рованной структурой и настраиваемыми параметрами Ш(, i = 1 ,

2 , п.

Примем в качестве критерия близости объекта и модели математическое ожидание некоторой функции потерь

тде 5 /= ддк — функции чувствительности. Помеху h считаем dm i

непрерывной с вероятностью единица случайной функцией с нулевым математическим ожиданием. Из (2. 79) следует, что для идентификации распределенных объектов требуется помимо настраиваемой модели с иррациональной передаточ­ ной функцией построить модель чувствительности с переда­

точной функцией ФГ1 (р), учитывающей специфику распреде­ ленной системы

Рассмотрим для конкретности, какой вид имеет модель 'чувствительности для объекта с передаточной функциейV

тде В(р) и D(p)— многочлены.

440

Дифференцируя Ф(о) до параметрам mt, находим

В табл. 1 приведены выражения Ф/ (р) для некоторых типичных случаев. В последней графе содержится ссылка на лите* ратуру, где исследуются системы с функцией Ф(р) соответ­ ствующего вида. Перечень передаточных функций, конечно* может быть значительно расширен. Однако из приведенной таблицы видно, что лишь в некоторых случаях для получе­ ния функций чувствительности можно использовать звенья с рациональными передаточными функциями.

Итак, применение методов теории чувствительности и стохаотической аппроксимации может привести к решению по­ ставленной задачи. Но изложенный формальный подход стра­ дает некоторыми недостатками. С одной стороны, построение распределенных моделей и тем более настраиваемых моделей представляет трудную техническую задачу. С другой сторо­ ны, эго не является необходимым. Рассмотрим способ определения неизвестных параметров без использования мо­ дели с распределенными параметрами [2. 32].

141

Попытаемся ослабить ограничения, накладываемые на модель объекта и модель чувствительности, п сформулиро­ вать условия, которым должны удовлетворять функции Ф(р) Ф'г (р), чтобы обеспечивалась асимптотическая сходимость с вероятностью единица оценок к истинным значениям па­ раметров. Достаточное условие сходимости алгоритма стоха­ стической аппроксимации состоит в том, чтобы критерий

Здесь Q — область изменения параметров р, и т, f(p) — вза­ имнооднозначная функция. В частном случае f(p )= p . Отсю­ да следует, что необязательно, чтобы структуры объекта и модели совпадали, но они должны быть известными для нахождения f(p). При идентификации распределенного объ­ екта можно использовать модель с сосредоточенными пара­ метрами.

Следующий этап упрощения алгоритма (2. 79) состоит в замене функций чувствительности 5 некоторыми функциями vlt которые вычисляются проще.

Можно показать, что для обеспечения сходимости т к т* достаточно, чтобы выполнялись условия (одномерный случай):

Аналогичные условия можно выписать и для многомерного случая. Условия (2. 85), (2. 86) позволяют упростить и в от­

142

дельных случаях исключить модели чувствительности из си­ стем. Они же определяют область сходимости алгоритма на­ стройки в пространстве параметров jj., т.

2. 6. СХОДИМОСТЬ АЛГОРИТМОВ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ

Этот и последующий подразделы посвящены изучению не­ которых свойств дискретных алгоритмов идентификации. Ана­ лиз работоспособности и эффективности алгоритмов включа­ ет следующие важные моменты. Во-первых, необходимо убе­ диться в том, что задача оценки неизвестных параметров име­ ет решение и это решение единственно, т. е. объект идентифи­ цируем по доступным для измерения переменным. Во-вторых, нужно доказать, что полученные оценки параметров являются состоятельными и сходятся по мере накопления данных к зна­ чениям, при которых наблюдается иаилучшее в каком-то смысле совпадение измеренных на объекте и рассчитанных на модели выходных переменных. В-третьих, при использовании УВМ. и дискретных алгоритмов для оценки параметров не­

ции существует и единственно, модель в частных разностях является адекватной и погрешностью дискретизации можно пренебречь. Сформулируем условия, при которых обеспечива­

части в квадрат и возьмем условное математическое ожида­

.1.43

lim(/?z[s]—|а)=(/я до —|j.)2< co .

5—»оо

Используя условие 1) теоремы, получим из (2. 88)

M{X2S+1| Х5}<Х2, - 2 Т[5]Х,М{ у J - e | Xs}+ T2[# [l+ XЛ 1

Ж{Х%+1}<ДИХ12} - 2 2 - г [ / ] ( Л ^ ( У т ^ - е | Х ;))+

/= 1

т. е- алгоритм (2. 57) дает оценку /n[s], сходящуюся к истинному значению ц с вероятностью единица и в средне­ квадратическом.

Если объект линейный, то из (2. 87) следует, что метод стохастической аппроксимации неприменим в том случае, когда функция потерь растет быстрее квадратичной парабо-

144