Файл: Живоглядов, В. П. Адаптация в автоматизированных системах управления технологическими процессами.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 85
Скачиваний: 0
s
X |
- y [K ,i— l ] ) ( y [ K - l , j \ - 2y[“>i] + |
|
|
|
X Х ( № - 1 - л - 2у к л + |
|
|
|
+ y [K+ l ,s]) + 2 g2/i} |
(2. |
63) |
|
+У[к + 1,/])2- 6 а г/г} ■ |
||
|
|
|
Суммирование производится по всем к, для которых возмож
но |
определить Aax q. Применение метода |
стохастической ап |
||
проксимации дает |
следующий алгоритм |
вычисления |
оценки |
|
т, |
сходящимся при |
_ |
л |
|
Q> 0 к истинному значению р с вероят |
||||
ностью, равной единице: |
|
|
||
|
w[s]'=/n[s—l ] + 7 [s]{(y[K,s]—y[K,s-l])(y[/<:—l,s] — |
|||
|
—2 у f/c,s]Ч-у [*с+1 ,s] ) + 2 а/(2—m[s—1 ](у[к— 1 ,s] — |
|||
|
— 2y[/r,s]-by[tf4-l,s])2+63/j2/«[s— 1]}. |
(2- 64) |
||
При1 отсутствии погрешностей измерения ай2=0.
2; 4. ОЦЕНКА МАТРИЦЫ НЕИЗВЕСТНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ
Ранее мы предполагали, что неизвестным является вектор коэффициентов. Выведем теперь формулу для оценки по ме тоду стохастической аппроксимации матрицы неизвестных параметров.
|
И-11 ••• Piг |
= II V-ij Илл= |
(2. 65) |
Рш •••• Рпг
Пустькритерий оптимальности имеет вид
( 2. 66)
13&
V= |
где tr— след матрицы; |
|
|
|||
|| Vtj || пп— симметрическая неотрицательная (п Х п )- |
||||||
|
|
матрица |
весовых коэффициентов; |
|
||
*= e[s] =(y[s]—^[s])— вектор |
ошибок; |
|
|
|||
У — II У1 .....Уп II т— вектор |
измеренных значений выход |
|||||
А |
Л |
ных сигналов объекта; |
|
|
||
Л |
|
|
адаптивного |
|||
Я= |
II Яи--->Яп II г —выход модели или сигнал |
|||||
|
|
настраиваемого распределенного |
конт |
|||
|
|
роля, причем |
|
|
||
|
|
ф 1 = /ф ]/(г ф ]) = / ф ] ф ] ; |
|
(2. 67) |
||
|
|
f —известная вектор-функция; |
|
|
||
» = II ^ ,...,0, Иг — вектор |
входных сигналов адаптивной мо |
|||||
7я = |
|
дели; |
оценок неизвестных |
параметров- |
||
|| пц,- || гп— матрица |
||||||
Равенство (2. 66) перепишем следующим образом: |
|
|||||
|
|
tr [Vyy т— VmvyT— VyvTmT+ V tnvvTm r ] |
(2. 68) |
|||
Вычислим градиент у mW путем дифференцирования [2.37Ш по матрице тп:
^ t r j Руу7" —VmvyT— VyvTm+ VmvvTmT]=
— -^-j—2 ^ t r f VyvTniT\ |
trl VmwTmT1 |
|
= -V(yt>T-~mvuT). |
(2. 69) |
|
Стохастический алгоритм идентификации в дискретном времени имеет вид
/ra.[s]^/rcjs-l] —rjs] V,nW (/n[s-lI,y[s]), |
(2. |
70) |
77l{s]=/rajs —1]— PJs] P(y[s]— 77?[s— l]t)[bj)'n7'[s], |
(2. |
71) |
где T[s] — квадратная неотрицательная ('пХп)-матрица пе ременных коэффициентов. Для обеспечения сходимости алго ритма при идентификации стационарных объектов (p = const) необходимо, чтобы элементы матрицы Г [s] удовлетворяли ус ловиям Роббинса и Монро [В. 17].
137
2.5 ИДЕНТИФИКАЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ
Описанный в подразделе 2. 3 метод не может быть непос
редственно использован, если функция |
состояния |
обьекта |
q(x, t) измеряется в отдаленных точках |
(Ах велико), |
а также |
в задачах идентификации чисто непрерывных систем. Поста вим задачу разработки на основе стохастической аппрокси мации рекуррентных помехоустойчивых алгоритмов оценки параметров линейных распределенных объектов по всем до ступным для измерения значениям q{x, t). Ниже излагается в соответствии с [2. 32] два различных подхода к решению за
дачи в зависимости от того, |
измеряется ли все поле q(x, t) |
||||
О |
t> 0 или же только |
входные и выходные |
сигналы |
||
объекта в некоторых фиксированных точках. |
|
||||
|
Идентификация с использованием непрерывного |
|
|||
|
распределенного контроля функции состояния |
|
|||
|
Пусть объект описывается линейным дифференциальным |
||||
уравнением в частных производных |
|
||||
|
F, |
dq |
dq |
= 0 |
(2. 72) |
|
dt |
’ Tx |
|||
|
|
|
|
||
с некоторыми граничными и начальными условиями. Здесь F— линейная вектор-функция, q(x, t) также может быть вектор ной функцией. Для простоты учитывается распределение по одной пространственной координате х. Функция состояния измеряется со случайной распределенной в пространстве по мехой h(x, t) с нулевым математическим ожиданием
y(x,t)=q(x,t)+h{x,t). |
(2. |
73) |
|
Воздействия u°(t), и I (t) входящие |
в граничные условия, |
||
измеряются точно, производные dq |
dq не |
измеряются. |
|
Воспользуемся результатами работы [В. 37]. Обе части уравнения (2. 72) умножаются на диагональную матричную функцию G(x, t) и интегрируются в пределах 0,/н; 0,/. Реко мендации по выбору функции F даны в [В. 37]. Учет гранич ных условий производится соответствующим выбором F. По сле интегрирования по частям
138
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
\\GFdxdt= 0 |
(2. |
74> |
||
|
|
о 0 |
|
|
|
|
приходим к |
выражению, |
содержащему линейные |
формы |
|||
относительно q(x,t),u°((),ul(i) |
вида |
|
|
|||
|
|
|
г |
t /и |
|
|
|
|
|
|
V'l \ \ qFi{x,f)dxdt+ |
|
|
|
|
|
1 = 1 |
о о |
|
|
|
Г |
t |
|
|
|
|
|
S |
ну jV y'^ n . t W ( 0 —Fj(p,t)u°(t)]dl=0. |
(2. |
75> |
||
|
= 1 |
|
|
|
|
|
Заменим |
<7 (x, |
t) в (2. |
75) |
измеренным значением у{х, |
t), |
|
а параметры р. — их оценками т = {ти ..., тп). Введем функ цию потерь W(P), например квадратичную, и применим метод стохастической аппроксимации для нахождения оценок т ■па раметров р.
|
dmi _ ./Л дЩР) |
дР(т,у ,и°,а'-) |
i= |
|
(2. 76) |
||
|
dt |
' |
дР |
дт |
|
||
|
|
|
|
||||
где |
т(0 — переменный |
коэффициент, |
удовлетворяющий |
||||
условиям Роббинса и Монро. |
|
|
(2. 72), |
||||
то |
Если известно аналитическое решение уравнения |
||||||
необходимость |
в |
модулирующих функциях |
отпадает. В' |
||||
частности, для примера 1 , |
рассмотренного в подразделе 2 . 2, |
||||||
при квадратичном критерии точности оценки R |
|
|
|||||
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
R = M W } = M |
| j1 [y(x,t)—q(x,t,p)]2d x ^= m in |
(2. 77> |
||||
|
|
|
6 |
|
14 |
|
|
алгоритм стохастической |
аппроксимации |
имеет |
вид |
|
|||
|
|
|
|
00 |
|
|
|
^=f(/)[cosco!f ^y{x,t)g1{x)dx+
о