Файл: Живоглядов, В. П. Адаптация в автоматизированных системах управления технологическими процессами.pdf

жает работать с постоянными ненастраиваемыми параметра­ ми. Структуры блоков УБ и ВУ-1 считаем известными. Возмо­ жен и другой путь, когда все устройства УБ, ВУ-1, ВУ-2 реали­ зуются программно на УВМ.

Критерий оптимальности работы системы R определяется значениями выходного показателя до, согласно (3. 1).

Функция потерь W — выпуклая дифференцируемая. Пред­ полагаем, что в допустимой области изменения параметров а функция /?(а) имеет единственный экстремум. Условия су­ ществования и единственности экстремума должны быть рас­ смотрены особо, применительно к отдельным классам систем. Задача синтеза состоит в следующем. Требуется найти алго­ ритм функционирования ВУ-2, обеспечивающий в условиях случайных помех сходимость параметров к оптимальным зна­ чениям а*, при которых

Воспользуемся методами стохастической аппроксимации и теории чувствительности. Рассмотрим вначале простой одно­ мерный случай, а затем проведем обобщение результатов на многомерные линейные системы [3. 151.

3. 3. 1. Настройка коэффициентов распределенного контроля в замкнутой схеме

Пусть объект с распределенными параметрами устойчив и описывается следующими уравнениями в операционной

Здесь Фи (р ), Ф,А(р), Ф(х, р) — передаточные функции, при­

чем Ф{х, р) зависит не только от оператора р, но и от прост­ ранственной координаты х. Возмущающие воздействия ц°(/), K(t) считаем стационарными случайными функциями. Распре­ деленное возмущение ц(х, /) — случайное поле, стационарное по аргументу /; А\ и А2 — некоторые линейные операторы, ха­ рактеризующие связь между ц(х, /) и выходными сигналами

16»

q(x.. t) и w(t)\ контроль q (x, i) осуществляется в дискретном ряде точек х i (i = О, 1, /). Управление определяется сле­ дующим выражением:

гдеФ ^д) — передаточная функция регулятора. Все входные и выходные переменные считаем скалярами. Предполагаем также, что инерционность и запаздывание в канале «управ­ ление и — выход w» значительно больше, чем в контуре ре­ гулирования по косвенным показателям. Это естественное предположение обычно оправдывается на практике. Одновре­ менно это одно из условий эффективного применения косвен­ ных показателей для целей управления.

Определим градиент функции потерь W по а:

(/=0,1,...,/)

В соответствии с [3. 15] запишем алгоритм настройки пара­ метров распределенного контроля внепрерывной форме:

где у (/) — матрица переменных коэффициентов, удовлетво­ ряющих условиям Роббинса—Монро. Обычный путь получения функций чувствительности S/ [3. 16] состоит в построении модели чувствительности, на вход которой подается сигнал ге. Учитывая спорадический характер поступления сигнала w и возможность случайного перерыва, откажемся от такого пути ипопытаемся сформировать функциичувствительности 5 /, используя лишь косвенные показатели qi. При этом можно также надеяться на ослабление требований к точности реали­ зации модели чувствительности и упрощение системы.

169

Из уравнений (3. 12) — (3. 14) находим

I

^ ) = - Ф ц(р)Фэ(^)|5]аД ф (д ;/)р)1Ао(/7)+Л{^(х1/;),(7(^.,1р ) ) ] -

/=0

(3. 17)

— В{р) 1+ Ф^ (р)|1о(/»)+Х(/0+Л2{|*(х,/?),«;(/>)],

/

^•(Р) = 9 (^ у ./0 = -Ф (л:у.Р )Ф э(^{2 а/1Ф(^./7)|А0(Р)+ /=*0

( 3. 18)

+Mv-(*>P)q(xi,P)}l-f>(p)) + (&(xj.p)\>.0(p)+Al{\>.(-A,p),q{Xj,p)},

где

Дифференцируя w по а/ и учитывая [3. 18], получаем функ­ ции чувствительности:

настройки определяется формулами (3. 16) и (3. 20). Струк­ турная схема системы управления приведена на рис. 3. 6, где указаны передаточные функции отдельных блоков. Приняты обозначения: J— интегратор; ~i(t) — усилители с переменным

коэффициентом т (0; X — множительное звено; W' (•) — безынерционный преобразователь с соответствующей характе­

170

ствующим образом характеристики возмущения X(t). Выпи~ шем для сравнения алгоритмы настройки коэффициентов рас­ пределенного контроля при квадратичной функции потерь:

а) в замкнутой схеме управления

l

л

<l{xi, р) и w; w — предсказанное значение выхода w. Из срав­ нения (3. 21) и (3. 22) видно существенное различие алгорит­ мов, несмотря на их внешнее сходство. Разомкнутая схема распределенного контроля настраивается на максимум тес­ ноты связи между выходом w и косвенными показателями q{x , t). Настройка замкнутой схемы управления осуществля­

■q(X[, i), выходной сигнал ш используется только для адапта­ ции системы. Однако информацию, содержащуюся в w, и ал­ горитм (3. 16) можно применять и для коррекции задания 0. Достаточно лишь включить 0 в вектор настраиваемых пара­ метров а, соответственно увеличив размерность а.

Сформулируем условия сходимости скалярного параметра а к точке (в область) оптимума [3. 17]. Справедлива сле­ дующая

Теорема

Пусть при любом фиксированном aeQ(a) процесс !/(£,/)= у а W,/>0,EeQ является сепарабельным стохастически

непрерывным случайным процессом, задан на вероятностном

172

I r(cc) I <A /=const при — CO < « < o o .

Тогда с вероятностью единица существует решение уравне-.

ния (3. 16):

do.(l,t)

—т(ОК(?,о

dt

Доказательство теоремы здесь не приводим. Для алгорит­ ма (3. 21) многопараметрической настройки условия сходи­ мости подобны (3. 24), (3 25). Для линейных стационарных систем условия сходимости, отказавшись от строгой записи, выразим через спектральные плотности случайных сигналов. gzS (со). Потребуем, чтобы с вероятностью единица выполня­

лось равенство

СО

--СО

гДе 5 es(w) — взаимная спектральная плотность е и со, кото­ рая легко вычисляется, если известны спектральные плотности входных возмущений и амплитудно-фазовые характеристики системы.

Итак, полученный алгоритм при выполнении определен­ ных условий обеспечивает асимптотическую сходимость а к точке оптимума даже при наличии большого чистого запазды­ вания в объекте [3. 17]. Однако качество процесса настройки, скорость сходимости существенно зависят от динамики си­ стемы по каналу «а—Va^»- Для улучшения качества настрой­

ки можно модифицировать алгоритм (3. 16), используя не­ которые результаты раздела 1: ввести, например, в алгоритм обратную связь по аналогии с (1. 84).

3. 3. 2. Автоматическая оптимизация многомерных распределенных систем

Обобщим метод синтеза алгоритмов параметрической оп­ тимизации на многомерные линейные системы. Уравнения объекта и регулятора в операционной форме имеют вид

173.

174