Файл: Живоглядов, В. П. Адаптация в автоматизированных системах управления технологическими процессами.pdf

1.1. 3. Оператор объекта задан в виде уравнений

вчастных разностях

В этом случае применение описанной выше методики не­ возможно без предварительного решения уравнений с уче­ том начальных и граничных условий. Оправдан поэтому и иной подход [1. 10]. Изложим метод синтеза управляющего устройства для управления распределенными объектами, ко­ торые описываются уравнениями в «частных» разностях

мент времени отмечены соответствующими индексами. Кван­

7[к+1, s] могут не входить в правую часть уравнения (1. 42). Для простоты считаем, что q[K, s] — скаляр. При обобщении

и параметров р известны. Вначале считаем, что помехи h в

52

P(|j.,« [k,s], g[K ,s])=P^) X

(1- 45)

/—I

Последнее выражение справедливо, поскольку УУ вырабаты­ вает воздействия в /-м такте лишь на основании информа­ ции, полученной измерениями в предыдущих тактах, а зави­

симость управления от р. проявляется только через

Qj-i. Рассмотрим условную плотность вероятности P(Qy \ р,

Uj, Qj-i). Используя уравнение объекта и предполагая, что д[к, j] не зависит от q[i, j], где i>K, получим

1

53

(1. 42), следовательно, и оптимального управления и[к, у] от управлений, прикладываемых в тот же момент времени в точках объекта 0, 1, .... к—1. Нужно указать на принципиаль­ ное различие зависимостей и[к, у] от u[i, j], где t'C/c, и уп­ равлений в предыдущие такты. В первом случае связь между управляющими воздействиями определяется лишь операто­ ром объекта (1. 42). Во втором — зависимость возникает не только за счет распределенности и наличия памяти в объек­ те, но обусловлена эффектом накопления информации о не­

Можно показать, что и стратегия Г/,„_ь и все Гк^ вырождаются

Q(Qj

T ln—aln

54

чае может оказаться, что возмущение распределено по длине объекта, а управлять можно лишь по границе, т. е. и[к, s]= 0 , к= 1 ..., /—1. Задача синтеза оптимального алгоритма УУ сводится к исследованию выражений вида (1. 51).

Если в измерительных устройствах кроме помех g имеют­ ся случайные помехи h, т. е. состояние объекта измеряется со случайными погрешностями, задача управления усложняется, но общий подход к ее решению остается прежним. Приведем без вывода формулу полного риска:

i =0

Применение метода динамического программирования приво­ дит к выражениям, аналогичным (1. 50), для вычисления уп­ равлений и* [к, s].

55

9[0,s] = ^[s],

которое является дискретным аналогом уравнения гиперболи­ ческого типа

Случайная величина р распределена по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и дисперсией а2^ • По­

меха g[/c, s] — гауссова центрированная с независимыми зна­ чениями и дисперсией a2g; А, В, С — постоянные коэффи­ циенты.

О означи м

Начальное состояние q[K, о] может быть измерено и счита­ ется известным. По границе на объект действует контроли­ руемое возмущение ф[$]. Функция потерь квадратичная

(I- 57))

Воспользуемся изложенной выше методикой для нахождения оптимального управления и* [к, s]. После некоторых преобра­ зований получаем

tt*[l,s]=!7*[l]—Л’Ь[5]—C6[s—1 ] ,s—1]— (1- 53

h*[/c,s]=(1—Л)<7*[/с] — Bq[i<,s—1] -Cq[K— \,s— \] —ms,

«=2,3,...,/

s—1 l

4 + ^ - , ) / = , i / = i

Интересно отметить, что задача дуального управления распалась на две самостоятельных задачи: стохастического управления при известном р и определения оценки m s пара­ метра р.

56

1.2. МЕТОД И Н Ф О РМ А Ц И О Н Н Ы Х КООРДИ НАТ

Развитый ниже подход при сохранении основной идеологии дуального управления приводит к существенному уменьше­ нию вычислительных трудностей [1. 11].

Пусть объект управления описывается уравнением

где u[s] — вектор управляющих воздействий на границе рас­ пределенного объекта в момент времени s;

ц — вектор случайных параметров; ф ц , х ) — векторная функция, определяющая начальное

состояние;

Q(-) — область изменения аргументов;

х — пространственная координата, t — непрерывное время;

s-й момент времени;

h\tc, s] — случайная помеха с независимыми в различные моменты времени значениями;

Я — непрерывная взаимнооднозначная известная функ­ ция аргументов q, h.

Таким образом, предполагаем, что управление и меняется ■скачкообразно в моменты времени t s, а информация с объек­ та снимается лишь в фиксированных точках хк.

57