Файл: Живоглядов, В. П. Адаптация в автоматизированных системах управления технологическими процессами.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 81
Скачиваний: 0
В качестве второго примера рассмотрим трубчатый реак тор для непрерывного процесса, в котором протекает необ
ратимая |
реакция |
первого порядка |
Математическая |
|||
модель |
реактора |
задана |
уравнениями |
|
|
|
|
|
<?<7а ■ |
ддА |
_ |
|
|
|
|
dt |
дх |
k'qx , |
|
|
|
|
|
(1. |
75) |
||
|
|
|
|
|
||
|
qt |
дх _= k 'q\ , |
/> 0, |
/н> * > 0 |
|
|
с нулевыми начальными и следующими граничными уело виями:
qA (0 ,о = Д О = /И * М .
где k' — константа, характеризующая скорость реакции; v — скорость движения веществ (м/сек)-,
«7л»<7/?— соответственно концентрации (моль/м3) веществ.
Управление процессом осуществляется изменением кон центрации вещества А на входе в реактор, выходом объекта считаем значение q%(/н>0= |7(0 в точке х=1и-
Получим передаточную функцию объекта
qг>(х,р) |
v x |
)е |
Р v |
(1.76) |
Ф(*.Р)= fip) |
= ( l - g |
• |
||
Переходя к реальному времени, находим |
|
|
||
qR {*<0 = 0 —« |
v )Ш- ~ |
)- |
|
О- 77) |
<?(0=<7r ( U ) = ( i - / |
|
|
|
0- 78) |
Для дискретной по х и t системы имеем |
|
|
|
|
q[l,s] = KJ[s—-c], т=тн/Д/. |
|
(1. 79) |
||
63
При k'-^oo уравнение (1. 78) переходит в уравнение |
звена |
с чистым запаздыванием |
|
— тн)- |
(1. 80) |
Сформулируем задачу следующим образом.
Требуется осуществить синтез управляющего устройства (УУ), которое, измеряя состояние объекта в одной выходной точке (х = /н) или по длине объекта, вырабатывало бы управ ляющие воздействия, обеспечивающие минимум функции риска.
1.3. 1. Управление линейным объектом при наличии аддитивных гауссовых помех
Пусть в уравнении (1. 79) |
|
f[s] = !(u[s],v.) = f1(u[s},s)+\>., |
(1. 81) |
y[s]=<?[s]-b/i[s], s = 1,2, |
|
где f — взаимнооднозначная функция; р — случайный параметр;
h[s] — помеха с независимыми значениями.
Законы распределения р и /фз] — нормальные с нулевыми математическими ожиданиями и дисперсиями о2 р и ^ с о о т
ветственно. Ограничение на управляющее воздействие и от сутствует.
Здесь мы приведем алгоритмы управления в дискретном и непрерывном времени для f\ = u и различных квадратичных функций потерь W.
а) Пусть функция потерь имеет вид |
|
^ + х = ( ^ - ф + - ] ) г= ( ^ - ^ - ^ И ) 2. |
(1. 82) |
Учтем, что для объекта с чистым запаздыванием от u[.s] за висит только удельный риск и не зависят риски Rj при
j=£s-\-~. М ожно показать, что система является приводимой и
нейтральной, |
стратегия регулярная. Функцию |
получаем |
из формулы |
(1. 15) |
|
|
0 0 |
|
|
—со |
|
64
J _ Y |
m - K 0r - K o u v - ' ] y } ^ . |
|
Оптимальные управляющие воздействия ti*[s] находим, на
чиная с последнего, |
из условия минимума функции |
При |
этом убеждаемся, |
что j -f*s+1cfQ(;y[s]) не зависит от .«[«]. |
|
Следовательно, для вычисления £<*|s] достаточно минимизи ровать функцию по as |_T . Алгоритм оптимального управле
ния сохраняет свою форму для различных s и имеет вид
“*[«]= |
^ уМ - Ф '- Ф |
где |
:(1. 83') |
|
В формуле (1. 83) m[s—1] представляет собой текущую оцен ку параметра р, условное математическое ожидание р.
Полученный результат можно распространить достаточно просто на случай непрерывной системы [В. 15, В. 16]. Путем предельного перехода можно получить представление уцравлений в виде функционалов при условии, что предел сущест вует в данной задаче. Последнее условие 'Выполняется и ал* горитм управления имеет вид
t
;(1. 84)
о
Я *(0= jQ 4*(t)-m [t)4
где
б 22-17 |
« 5 |
Рис. 1.4
спектральная плотность белого шума h(l). Оптимальная оценка т возмущения ц получается на выходе фильтра, с переменными параметрами [1. 15], причем опти мальный фильтр можно описать следующим уравнением:
= —a(t)m + о(/)[ |
т„)]. |
(1. 85) |
Структура управляющего устройства в непрерывной системе показана на рис. 1. 4. Приняты обозначения: О — объект, Ф — фильтр, М — модель объекта, J — интегратор, (—1) — инвертор, a(t) — усилитель с переменным коэффициентом
усиления а(1),.П — усилитель с коэффициентом усиления-^. ■''о
Для нелинейного объекта с уравнением (1. 81) П реализует преобразование, обратное Kofi-
б) Рассмотрим задачи управления с более сложными квадратическими критериями. Пусть
Ws+Z=(q*—<7[5+т])2+ с ( ф ] —u[s— I])2.
Введение второго члена в выражение функции потерь связа но со стремлением препятствовать резким изменениям управ ляющих воздействий. Например, для некоторых технологиче
ских |
процессов (в |
частности, для обжиговых вращающихся |
печей |
в цементном производстве) важно обеспечить «ровный |
|
ход». |
Пусть Ко= 1- |
4 |
Для нахождения оптимального u*[s] применим изложен ный в подразделе 1. 2 метод информационных координат, а именно воспользуемся уравнением (1. 68). По формуле
.(1. 69) определяем апостериорную плотность вероятности
|
|
|
* ® - 0 = - т = = = Х |
|
|
|
|
|
|
у 2itDs_i |
|
|
|
|
Х 6 Х Р' 2{ D ^ |
— |
1 ] ) * j . |
|
||
>где |
xs_ i= || ot[s—l],D s_i || т — вектор |
|
достаточных |
|||
|
|
|
статистик; |
|
|
|
лг[в—1]=ЛГ{н- | y[s—1], и [s—"—!])— условное |
апостериор |
|||||
|
|
|
ное |
математическое |
||
|
|
|
ожидание; |
|
||
|
|
|
D s- 1— условная |
дисперсия, |
||
|
|
|
причем |
|
|
|
m[s—l] = m[s—2]+ |
0 ft |
(y [s~ lj —“[s—т—1]—-/n[s—2]), |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 _ 2 + « V ; |
|
(1' |
87> |
|
|
|
|
О- M) |
||
т[0],О0=о2р — априорные |
математическое |
|
ожидание |
и |
||
Условную |
дисперсия |
параметра р.. |
вычисляем |
по |
||
плотность |
P(y[s] | Xj-j.afs—т]) |
|||||
-формуле (1. 70) |
|
|
|
|
|
|
|
P(y[s] |
| /n[s—l],£>s_ba[s—т]) = |
|
|
||
|
1 |
|
_ (y[s]~ u[s—-] —m[s— l])2 |
|
||
Y2*{Ds-i+o'd |
exPi |
2(Ds_t+ o2n) |
|
|
||
Наконец, выписав для-wtts] уравнение, аналогичное (1. 87), мз последнего выражения находим1
1и[8- ,1>3 ^ 1 -ЗД Г,1 “
67
|
|
=ехр — |
В. |
1’ |
|
|
|
|
|
|
|
||
где Bs зависит только от s, а2^ , а2,г. |
|
|
||||
Оптимальные управляющие воздействия |
определяем начи |
|||||
ная |
с последнего u n_ z из уравнения (1. |
68) с учетом |
за |
|||
паздывания в объекте: |
|
|
|
|
||
|
|
R0*= |
min |
[r„+0], |
|
|
|
|
u[n—t] |
|
|
|
|
|
rn= M { W n I U\n—x],/n[/z—x -1 ], Dn_ z_ x }= |
|
||||
|
=(<?*- тп\п—t— 1 ]—u\n—x\)2-\-Dn_x_j |
-\-c{u[ti—xj— |
|
|||
|
|
—u[n—t—l])a. |
|
|
||
Из условия |
dr„ |
|
|
|
|
|
= в получаем |
|
|
||||
и*[п—х] = и[п—х—1 ]-(- |
_! {q*—т[п—х—1]— и\п—х—1J). |
|||||
|
|
1 "т" С |
|
(1. |
89) |
|
|
|
|
|
|
||
Соответствующий этому управлению риск /?0* равен |
|
|||||
Ra*= {q*—m{n—x— \] - u [ ti —x— \ ] y - ~ ^ |
(1. |
90) |
||||
Для |
предпоследнего такта |
имеем |
|
|
||
|
00 |
|
|
|
|
|
Яi |
= j * |
R0*P(m[n—х—1] |
| m[n—i—2])dm\n—x— \] = |
|||
|
z- |
Г1 !'[(?*— |
|
2]—ц[га—x—1])2+ |
91). |
|
|
|
4 4 1 |
|
|
(1, |
|
|
+ c[l](«[ra—■x—1]—u[n—x—2])21Ч-Л/, |
|
||||
где |
|
4 i: |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
1 + c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
68 |
|
|
|
|
|
|