Файл: Д’Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез-1.pdf

где

7

tg<4 =

Вынужденные колебания. Частотная характеристика. Переда­ точная функция. Выражение для вынужденных колебаний при произвольном внешнем воздействии f(t) и нулевых начальных ус­ ловиях можно получить с помощью весовой функции:

о

При единичном гармоническом внешнем воздействии с часто­ той р

Полюсы передаточной функции

Sl,2-----Н Г ± * “<>] / ' 1 _ 'Т

лежат в левой полуплоскости.

Это свойство используется в теории линейных систем при интег­ рировании выражений, содержащих передаточные функции или частотные характеристики.

Резонанс. При резонансе амплитуда колебаний, вызванных •единичным внешним воздействием, равна

а = _j__ Пшо

.Эта величина совпадает с решением, к которому приводит урав­ нение гистерезисной теории

64

однако соответствующие им частотные характеристики различны. Форма резонансной кривой определяется величиной модуля час­ тотной характеристики (11.38)

|Ф (ір) I =

|/~ (_“и—Р І У +7' “и

Сдвиг фаз между внешним воздействием и реакцией системы в первом случае

При низких значениях у разница в форме резонансной кривой и величине фазы реакции мала и обычными измерениями не может быть обнаружена.

По гипотезе вязкого трения (гипотеза Фохта), выражаемой уравнением

Это выражение будет совпадать с (II.38), если определять коэф­ фициент е по заданному декременту колебаний:

£оцо _ 7шо 2тс — ~~2~‘

Такой прием часто применяется в литературе, особенно зару­ бежной, по сейсмостойкости сооружений, однако он возможен толь­ ко по отношению к системам с одной степенью свободы.

Диссипативная функция. Матрице рассеяния энергии

С = т М * К *

соответствует диссипативная функция

Элементы матрицы IF = Al 2 ЛГ2 имеют размерность частоты.. Для системы с одной степенью свободы

на кинетической энергии и частоте собственных колебаний систе­ мы. С физической точки зрения существенно, что диссипативная функция в режиме вынужденных колебаний зависит не только, от внешнего воздействия, которым определяется кинетическая энер­ гия колебаний, но и от механических свойств системы, выражен­ ных частотой его собственных колебаний.

сит от механических характеристик системы, таких как вид опорных закреплений, распределение масс и жесткостей. Функ­ ция F постоянно встречается в литературе, где излагается прин­ ципиальная сторона вопроса, однако не имеется никаких данных о методах определения и величине элементов матрицы рассеяния ||сіИ| применительно к строительным конструкциям и сооруже­

ниям. Этот вопрос полностью разрешен при применении матриц вида (11.27)! В сложных матрицах вида (11.29) соотношение между коэффициентами ск выбирается произвольно, с таким расчетом, чтобы получить удовлетворительную аппроксимацию заданного закона зависимости декремента колебаний от частоты высших форм. Величины коэффициентов ck определяются в соответствии

с величиной декремента основного тома колебаний. Тем самым метод вычисления всех элементов матрицы рассеяния становится достаточно определенным.

Рассмотрим пример составления и решения уравнений сво­ бодных колебаний системы с двумя степенями свободы. Объектом, исследования примем абстрактную схему с параметрами

66

2 - 1

Матрица жесткости соответствует схеме со сдвиговыми деформа­ циями при одинаковой жесткости обоих этажей. Коэффициент у принимаем 0,06, что приблизительно соответствует 6=0,2. Ввиду того что матрица жесткости симметрична, извлечение квадрат­ ного корня приводит к системе трех квадратных уравнений

Раскрывая квадрат неизвестной матрицы в левой части, по­ лучаем

хх х 2+ х 2 х 3= — 1; JCj+Jt* = 1.

Решая уравнения, находим

67

Вместо решения этого уравнения можно рассмотреть более прос­ тую задачу о незатухающих колебаниях:

68