Файл: Д’Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез-1.pdf

истине следует считать предположение о том, что матрица зату­ хания С пропорциональна матрице распределения масс в соору­ жении.

При решении практических задач уравнение (П.З) будет при­ водить к преувеличению влияния высших форм колебаний и, сле­ довательно, к повышению общего запаса прочности, что обычно нельзя считать большим недостатком. Поэтому при расчетах на сейсмические воздействия учет затухания в виде (П.З) или (II.8 ) вполне допустим при условии, что величина коэффициента зату­ хания с для первой формы колебаний согласуется с величиной декремента бь определенного экспериментально. Для этого коэф­ фициент с следует определять по формуле (II.9). В литературе гипотеза Фохта используется почти исключительно с матрицей рассеяния, пропорциональной матрице распределения масс [45].

Рассмотрим колебания с матрицей рассеяния энергии в виде

С= сК.

Система уравнений запишется как

М х + сКх + Кх = О

или

Применяя преобразование подобия с матрицей собственных век­

торов R матрицы Ж " 1К и учитывая (II.5), приходим к уравне­ ниям в главных координатах:

Дер + cW 2©+ R72© = 0.

Решение для і-й координаты будет

При данном законе затухания частоты высших форм колебаний стремятся к нулю, декремент колебаний неограниченно возраста­ ет. При сог>-2/С периодическое движение становится невозможным.

Эти результаты не согласуются с приведенными выше данными натурных испытаний сооружений и могут вызвать логические про­ тиворечия. Например, частота t-й формы колебаний, определен­ ная по формуле (11.12), может оказаться меньше частоты преды­ дущей гармоники с номером і—1.

54

При исследовании колебаний дискретных систем с затуханием, пропорциональным скорости перемещения сосредоточенных масс, обычно матрицу рассеяния принимают пропорциональной матри­ це распределения масс, что не создает логических противоречий. Наоборот, при составлении уравнений колебаний непрерывных систем часто принимается затухание, пропорциональное жестко­ сти, что приводит к решениям, сходным с формулами (П-12) и (11.13). Этот вопрос рассмотрен и в § 6 настоящей' главы.

Решения системы уравнений, рассмотренных выше, не удовлет­ воряют поставленному требованию о независимости декремента колебаний от частоты. Рассмотрим методы построения матриц рас­ сеяния более сложного вида, приводящих к иным зависимостям декремента от частоты колебаний.

Наиболее ограничивающим является условие разрешимости за­ дачи в главных координатах. Напомним, что это требование вызы­ вается не только стремлением получить более простое решение, но и необходимостью согласовать решения с результатами натурных испытаний, которые свидетельствуют о реальном существовании высших форм колебаний.

В дальнейшем будем исходить из уравнения (II.1), записан­ ного в виде

Матрица М~1К приводится к диагональному виду преобразова­ нием подобия с матрицей собственных векторов R, причем элемен­ тами диагональной матрицы являются квадраты собственных час­ тот незатухающих колебаний, описываемых системой (II.2). Обозначим оператор преобразования подобия с матрицей R че­ рез [R];

[/?] А — R~x AR,

где А — квадратная матрица порядка п. Матрица С должна удовлетворять условию

[Я] Ж “ 1 С = || н и ­

которому удовлетворяют матрицы сМ и сК, рассмотренные выше. Так как оператор [R] является линейным относительно скалярных множителей, линейные комбинации матриц М и К также будут матрицами, приводимыми преобразованием [R] к диагональному виду. Общий вид таких матриц —

(II ^ ССМ0ТРИМ РезУльтаты использования матриц рассеяния типа

Подставляя (11.15) в уравнение (11.14), получаем

55

Преобразуя координаты с помощью оператора [/?], приходим к уравнению в главных координатах

т1 будет содержать малую ошибку

для первых гармоник, то придем к соотношению

»?■ 1 + -Т

На рис. 28 показан график изменения б/ в зависимости от частоты для высших форм колебаний при трех видах матрицы рас­

66

различных соотношениях коэффициентов С\ и Сг можно аппроксими­ ровать некоторые виды изменения декремента колебаний, но нель­ зя удовлетворить поставленному условию независимости декремен­ та от частоты.

§ 3. Другие типы матриц рассеяния, приводимые преобразованием подобия к диагональному виду

Оператор [Я], кроме линейности относительно скалярных мно­ жителей, обладает еще свойством транзитивности по отношению к. рациональным степеням матриц. Это свойство может быть запи­ сано в следующем виде. Если [ЩА=В, то

Для целых степеней это свойство легко доказывается по ин­ дукции.

Если [/?] Ам = ([Я] А )т= Вт, то

Вт+1 = ([Я] Л)т+1= ([Я] А)т[Я] А = [Я] Лт [Я] А —

= Я-1 Лт ЯЯ=1 ЛЯ = Я _1 Ат+1Я = [Я] Ат+1.

Диалогично проводится доказательство для рациональных:

т

степеней. Пусть С — Ап. Учитывая справедливость теоремы дли целых показателей, получаем

т

[Я] с п = [Я] А т = ([Я] с у = ([Я] Ап У .

Отсюда

[Я]Л» - ([Я] АтУ = {([Я] А)т}« = ([Я] А)п.

Доказанное свойство оператора [Я] дает возможность построитьновые типы матриц рассеяния, допускающих решение системы' уравнений затухающих колебаний в главных координатах. Таки­ ми будут матрицы вида

где п и т — целые числа.

Подставив (11.20) в (11.14), запишем систему уравнений зату­ хающих колебаний

57-

Преобразованием |7?] эта система приводится к уравнениям в тлавных координатах:

меньше частоты незатухающих колебаний; коэффициент уменьше­ ния не зависит от частоты и остается постоянным для всех форм колебаний.

Декремент колебаний

имеет постоянную величину для всех форм колебаний и не зави­ сит от частоты.

Коэффициент затухания

_ Ö

•совпадает с ■коэффициентом рассеяния энергии у, который при­ меняется в гистерезисной теории затухания [112, 113]. В последнее время это обозначение вошло во всеобщее употребление, поэтому в дальнейшем при постоянном декременте затухания коэффициент затухания с будем обозначать через у. Полученные соотношения свидетельствуют о том, что уравнения с матрицей рассеяния

■приводят к решениям, которые аналогичны уравнениям гистере­ зисной теории, но система (11.21) имеет действительные коэффи­ циенты. Ниже показано, что решения уравнений (11.21) и уравне­ ний гистерезисной теории не вполне идентичны, но разница не существенна.

.58