Файл: Д’Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез-1.pdf

Натурные исследования колебания зданий и сооружений [1, 5, 1,12, 119, 122, 139, 140] показывают, что величина коэффициента у в большинстве случаев не превосходит 0,2. При этом коэффициент уменьшения частоты затухающих колебаний

при котором периодическое движение становится невозможным,

удовлетворяет всем требованиям, сформулированным в § 1 настоя­ щей главы, за исключением свойства устойчивости системы, кото­ рое этими формулами непосредственно не обусловливается. Для доказательства устойчивости можно сослаться на то, что системы уравнений (11.21) или (11.28) в этом смысле не отличаются от часто используемых уравнений колебаний механических систем с вязким трение;'', по гипотезе Фохта, устойчивость которых извест­ на. Независимо ~»т этого факта можно привести доказательство устойчивости на основании формулы (П.23). Передаточная функ­ ция для і-й главной координаты

имеет полюсы в левой полуплоскости, следовательно, система (II.22) устойчива. Отсюда следует устойчивость системы (11.28), которая получается из (П.22) линейным преобразованием коор­ динат.

При других значениях отношения — , отличных от — = у , решение системы (11.21) будет приводить к различным зависи­

ний будет убывающей, а при— > -^---- возрастающей функцией

частоты высших форм колебаний. Принципиально это дает воз­

различные заданные (монотонные) зависимости декремента высших форм колебаний от частоты. Выше было показано, что натурные на­

59

блюдения этой зависимости дают большой разброс результатов в- ту и другую сторону и предпосылка о постоянстве декремента для всех форм колебаний была принята в порядке первого приближения, а также для того, чтобы получить результаты, согласованные с вы­ водами хорошо обоснованной гистерезисной теории. Однако экспе­ риментальной базой гистерезисной теории являются испытания объектов другого, более простого вида и вполне возможно, чта дальнейшие исследования приведут к заключению о переменности декремента для высших форм колебаний зданий и сооружений. Систему уравнений (II.1) молено приближенно привести в соответ­ ствие с различными экспериментальными результатами путем вы­ бора различных матриц рассеяния. На основании формул (11.15) и (11.20) общий вид таких матриц будет

Ьі = с™і3

возрастает с частотой, но значительно медленнее, чем согласно вы­ ражению (11.13).

60

Если матрицу рассеяния примем как

С2= с М 3К 3 ,

то получим:

2_

3

Sj = ежа 3

Эти результаты сходны с формулами (П.8) и (II.9), но изменения частоты и декремента происходят значительно медленнее. На рис. 28 показаны зависимости декремента от частоты для матриц и С2 (кривые IV и V соответственно).

§4. С вободны е и вы нуж денны е колебания

Вдальнейшем будем рассматривать систему уравнений (11.28). Если имеется в виду аналитическое решение с помощью разложе­ ния в ряд по формам свободных колебаний, то поступаем следую­ щим образом. Находим обычными методами частоты и формы ко­ лебаний системы без затухания (у= 0); главные координаты будут

иметь вид

(О = aLsin

Главные координаты системы (11.28) получаем умножением

где ги — элементы матрицы собственных векторов. Столбцами

этой матрицы являются формы колебаний системы без затухания. Произвольные постоянные at и а. находятся обычным спосо­

61

При сейсмических воздействиях внешние нагрузки имеют вид

f ( t ) = [ — m^w (t), — т2 w (£),...] = — М w (t ),

где w (£) — ускорение основания сооружения. Уравнение в главных координатах запишется как

где R — транспонированная матрица собственных векторов мат­

рицы М~1 К. Собственные векторы предполагаются нормирован­ ными по массе:

г=і

При нулевых начальных условиях решение для і-рі коорди­ наты будет (принимается шг = я>г )

о

лV

°i= 2 i mk rki •

*=i

Координаты x k определяются по формуле

Так же как и в случае свободных колебаний, нет необходимости решать систему уравнений затухающих колебаний. Решение может быть написано, если известны частоты и формы свободных коле­

баний.

Интеграл (II.33) не может быть найден в аналитическом виде, так как функция w(t) задается в табличной или графической форме. Поэтому для определения реакций на воздействие по за­ кону акселерограммы применяются другие методы решения, не связанные с разложением решения в ряды по формам собствен­ ных колебаний. К их числу относятся некоторые численные мето­ ды, методы теории линейных систем, применяемые при вычислении вероятностных характеристик реакций, и методы моделирования на различных устройствах непрерывного действия. Именно для этих целей и составлены системы уравнений (11.28) и (11.32).

Уравнение затухающих колебаний системы с одной степенью свободы на основании (11.28) будет

62

Физический смысл этого уравнения заключается в том, что сила' неупругого сопротивления зависит от динамических свойств сис­ темы, выражаемых произведением массы на жесткость. Важно от­ метить, что речь идет не о жесткости поперечного сечения, а о более полной характеристике, включающей свойства опорных за­ креплений, характер деформаций и другие факторы, от которых зависит прогиб системы в точке, несущей сосредоточенную массу.

По форме уравнение (11.35) сходно с левой частью уравнения

т х -\— — х + k x = F(.eia>ft ,

которое применяется для описания циклических процессов сис­ тем с гистерезисным затуханием [43]. Существенная разница за­

колебаний^|//7г k= -£—'J и не связана с внешним воздействием. Эта

обстоятельство позволяет распространить уравнение (11.35) и на непериодические процессы.

Рассмотрим динамические характеристики системы, описывае­

мой уравнением (11.35).

Импульсная переходная функция. Импульсной переходной функцией, или весовой функцией системы называется ее реакция на воздействие мгновенного единичного импульса. Единичный

импульс сообщает массе т скорость г)0 = — . Весовая функция

определяется путем решения уравнения (11.35) с начальными ус­ ловиями

.х(0) = 0 ; * ( 0) = -^ -.

Будем, как и выше, считать приближенно, что частота затухающих колебаний равна частоте колебаний без затухания. Последнюю будем обозначать а>о-

Решение уравнения (11.35) —

Подставив в это решение начальные условия, найдем весовую функцию для перемещений:

63