Файл: Д’Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез-1.pdf

Пример приведен для иллюстрации основных положении, рас­ смотренных выше в связи с применением матрицы' рассеяния энергии (II. 27).

§ 5. Извлечение квадратного корня из матриц

Для аналитического расчета свободных и вынужденных коле­ баний с помощью представления решения в виде ряда по формам собственных колебаний нет необходимости вычислять коэффици­ енты уравнения (II. 28). Как и для уравнений гистерезисной тео­ рии, достаточно решить уравнения для .систем без затухания, оп­ ределить частоты и формы свободных колебаний и, зная величину коэффициента рассеяния энергии у или декремента первой фор­ мы колебаний бь записать решение для затухающих колебаний в виде (II. 31) или (II. 33). Этот метод применен в предыдущем ■параграфе.

Составление уравнений с матрицей рассеяния энергии (II. 27) требуется для применения численных методов решения, в кото­ рых не используется разложение по формам колебаний, и для составления схем на электрических и электронных моделирую­ щих устройствах. Основную трудность при этом представляет извлечение квадратного корня из матрицы жесткости К. Так как эта матрица симметрична, задача определения элементов матри­

цы К ~Т приводится к решению системы квадратных уравнений вида

(11.48)

может быть решена различными способами с помощью ЭЦВМ при условии, что искомое решение существует, иначе говоря, при условии, что существует матрица X с действительными эле­ ментами x.k, х.к = х ьі, удовлетворяющая уравнению (11.43).

Доказательство следует из известных свойств матрицы жестт кости К и матрицы распределения масс М , рассматриваемых в теории колебаний, а также из доказанного выше свойства тран­ зитивности преобразования подобия с оператором , | R | относи­ тельно рациональных степеней матриц.

69

В теории колебаний доказывается, что произведение матриц

[.м - 1) [К] = W*,

Вместе с тем, равенство (11.44) дает и один из возможных мето­

используются, однако одним из преимуществ его является нали­ чие во многих вычислительных центрах готовых программ для определения W2 и R.

70

§ 6. Вычисление коэффициентов матрицы рассеяния энергии

Л'Іатрица собственных векторов обладает свойством

После вычисления квадратного корня из матрицы жесткости определение элементов матрицы затухания не представляет за­ труднений:

Уравнения колебаний системы со многими степенями свободы часто записываются с помощью матрицы единичных перемещений А которая является обратной по отношению к матрице жестко­ сти К:

D = К~х .

Уравнение вынужденных колебаний с правой частью в виде акселерограммы землетрясения, согласно (II. 28), запишется так:

Умножая это равенство слева на матрицу D, получаем систему уравнений в перемещениях:

D M X + yDM 2 К 2 х + х — — D M w0(t).

Вэтой системе уравнений матрица затухания будет

1I

С— -\DM 2 К 2,

что на основании (II. 45) приводится к виду

Матрицы

S — R W R

и

T = M R W R M

71

симметричны, что следует учитывать при их вычислении.

В .качестве примера рассмотрим вычисление матрицы затуха­

Для проверки правильности вычислений можно использовать равенство, основанное на соотношении

/ Г 1( М~1 К) R = U72,

72