Файл: Д’Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез-1.pdf

в случае уравнения (II. 56) действительными являются только не­ сколько первых членов, поэтому общее его решение не может быть представлено этим рядом. То же относится и к системе урав­ нений (II. 10) при достаточно большом числе степеней свободы- (практически при п > 4).

Учет затухания в форме (II. 56) и (II. 60) обусловливает со­ ответственно прямую и обратную пропорциональность декремен­ та частоте колебаний.

По аналогии с уравнениями для дискретных систем можно ожидать, что существуют другие операторы, с помощью которых получаются промежуточные закономерности. Ниже будет пока­ зано, что в общем случае для систем с распределенными пара­ метрами построение операторов, удовлетворяющих всем постав­ ленным требованиям, сложнее, чем для дискретных систем. Ука­ жем на простую возможность, вполне аналогичную рассмотрен­ ной в § 2 настоящей главы. Уравнение

подстановкой у = X{x)T[t) приводится к двум уравнениям с раз­ деленными переменными:

ЛІѴ- фХ= 0;

Т4- (Сі -|- с,ш-)Т -f- ш-Г — О,

где

Первое уравнение снова приводит к формам незатухающих ко­ лебаний, а второе решается так же, как уравнение (II. 17). Урав­ нение (II. 61) приводит к таким же качественным результатам в смысле зависимости декремента колебаний от частоты, как и система уравнений (II. 17).

§ 8. Уравнения с интегральны ми операторами

Для схем с непрерывно распределенной массой можно напи­ сать интегральные уравнения, аналогичные системе (II. 16). Ум­ ножив уравнение (II. 16) слева на матрицу (М~1 К)~1, запишем его в следующем виде:

где

D= К ~ 1

—матрица влияния, элементы которой dlk равны перемещению точки і по направлению единичного усилия в точке k. Матрица

78

М обратна матрице М~х К , поэтому, применяя оператор [/?], по­

лучаем уравнение в главных координатах, эквивалентное урав­ нению (11.17):

-2ÜZÜ- _

Для непрерывных систем матричному оператору D аналогичен оператор Фредгольма второго рода, который определяется ра­ венством

Df{x) = \ D { X , s)f(s) ds;

L

D(x, s)—функция влияния, выражающая прогиб в точке х при единичной нагрузке в точке s. Функция влияния симметрична относительно переменных х и s:

D{x, s) = (s, x).

С помощью оператора D уравнение незатухающих колебаний мож­ но написать в виде, аналогичном (11.34) при с= 0:

Dmy + у = 0,

обладающим свойством орто-нормировайнОістл с весом т(х):

Решение уравнения (11.64) выражается через собственные функ­ ции в виде

где функции rt(x) удовлетворяют интегральному уравнению

79

а функции ®г (() являются решением дифференциального уравне­ ния

ю.+ ш2 ®. =0,

аналогичного уравнению (II.8) при с = 0. Величины ш2 суть соб­

ственные числа уравнения (II.68).

Переходя к уравнению затухающих колебаний, принимаем, что силы внутреннего трения, действующие на элемент стержня, пропорциональны -скорости перемещения элемента, зависят от динамических характеристик системы и могут быть выражены с

80

где функции rt {x) остаются без изменения, а функции -в (t) яв­

Декремент колебаний составит

Та или иная зависимость декремента от частоты колебаний обус­

где С и D являются операторами Фредгольма второго рода с симметричными ядрами С (х, s) и D (x, s) и с весовой функцией /ra(s). Из (11.69) и (11.76) следует, что и в более общем случае