Файл: Д’Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез-1.pdf

можно написать дифференциальные уравнения с учетом затуха­ ния, аналогичные (II. 57) и (II. 60):

где соотношения между ши ß такие же, как и в предыдущем слу­ чае. Первое из них снова приводит к формам незатухающих колебаний, второе имеет решение

82

где

баний однородного стержня, испытывающего деформации сдвига, уравнение (11.76") находится в лучшем соответствии с опытом, и его решение не содержит логических противоречий, от которых не свободно решение уравнения (11.76'). Поэтому для практичес­ ких расчетов следует пользоваться уравнением затухающих колебаний сдвига в виде (П.76").

Чтобы улучшить соответствие решений уравнения с опытными

Составление уравнения затухающих колебаний, удовлетворяю­ щего условию постоянства декремента для всех гармоник, возмож­ но только с введением специальных операторов. Для описания колебаний однородного стержня можно ввести оператор Гильберта

Нх) сходный с оператором затухания, предложенным В. Колоуше-

ком [44], с той разницей, что в данном случае оператор действует на функцию переменной х — координаты стержня, а не на функ­ цию времени t, как в работе [44].

Оператор Гильберта Н определяется следующим соотношением:

Одно из свойств этого оператора, которое в данном случае может быть принято за его определение, выражается соотношениями

Н sin ßx = — cos ßx

(11.78)

H cos ßx — sin ßx

Уравнение

удовлетворяет поставленным требованиям. В этом можно убедить­ ся, используя подстановку

83

где е — параметр, характеризующий внутреннее трение.

Для расчета сооружений необходимо определить максималь­

Вначале определяются частоты и формы собственных колебаний, причем, как правило, при вычислениях ограничиваются тремя первыми частотами и формами. Тем самым исходная модель за­ меняется тремя независимыми системами с одной степенью сво­ боды, сумма реакций которых приблизительно эквивалентна реакции исходной системы.

Второй этап решения заключается в определении максималь­ ных значений суммы (ІП.2). Акселерограммы обычно задаются в табличной форме и для сокращения вычислений при подготовке материала и определении значений х к max интервал обработки

акселерограммы сокращают до 4э-б сек. Максимальные значения суммы вида (III.2) приходится определять отдельно для всех необходимых кинематических компонент и силовых факторов, при­ чем структура формулы (ІП.2) каждый раз меняется.

Ценность получаемых результатов ограничена тем, что степень соответствия расчетных схем действительным механическим ха­ рактеристикам реальных сооружений недостаточно высока, в свя­ зи с чем неоднократно делались попытки испытать механические модели сооружений на воздействия по закону акселерограмм. До настоящего времени проблема создания сейсмоплатформ програм­ много действия, с достаточной точностью воспроизводящих сейс­ мические движения и обладающих необходимой грузоподъемнос­ тью, не решена.

Таким образом, в аналитических расчетах можно с большой точностью воспроизвести внешнее воздействие, используя реали­ зации сейсмического процесса, однако объектом изучения являет­ ся не само сооружение, а его идеализированная модель, представ­ ляемая расчетной схемой. При натурных испытаниях, наоборот, изучается само сооружение, но внешнее воздействие заменяется его упрощенной идеализацией.

Излагаемые «иже методы, основанные на использовании вре­ менных характеристик линейных систем, имеют целью объединить расчет и испытание сооружений на сейсмические воздействия, заданные в виде отдельных реализаций, и установить связь меж­ ду результатами натурных испытаний простейшего вида и анали­ тическими раскетами сооружений -на сейсмические воздействия.

о ( * ) = 0 , * < 0 ,

86

а весовой функцией h(t) — реакцию на воздействие единичной импульсной функции 8(t), обладающей свойствами

j 8 (t) dt = 1.

Если L — оператор системы, то

gj(t) = L - l o.(t)

(ІИ-3)

J j ( t ) = L - 18.(^)

где gj {t) — столбец переходных функций, а lij (t) — столбец весо­

вых функций, соответствующих воздействию на /-м входе, при ра­ венстве нулю воздействия на остальных входах [43, 76, 86]:

Как известно, реакция на k-u выходе при воздействии w0j (х) на у'-м входе определяется выражением

При определении реакций механических систем на сейсми­ ческие воздействия нет необходимости вычислять переходную или весовую матрицу, так как все входные величины пропор­ циональны ускорению основания wQ(t) и действуют одновременно. В этом случае удобно рассматривать заданную систему как имеющую один вход и ѣ выходов. Матрица весовых функций заме­

Здесь движение всех точек основания сооружения рассматрива­ ется как синхронное. Весовыми функциями можно пользоваться

87