Файл: Д’Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез-1.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 61
Скачиваний: 0
ний от частоты могут быть описаны системой дифференциальных уравнений с .постоянными 'коэффициентами вида
|
|
Lx = w\ |
(III.61) |
|
здесь |
L —-матрица дифференциальных операторов второго |
по |
||
рядка |
|
|
|
|
|
|
L = \\Lkj\\ |
(III.62) |
|
(Lk/ = |
mkjp2 + ckjp -f kkJ — дифференциальные операторы второго |
|||
порядка, |
где /? —символ дифференцирования); |
je = [xk (£)}л — |
||
столбец |
неизвестных; w = [wk (£)}л — столбец |
внешних |
воз |
|
действий.
Если на у'-м входе имеется единичное гармоническое воздей ствие с размерностью силы
|
Wj (О = еш , |
|
|
|
|
|
|||
а остальные воздействия отсутствуют, т. е. |
|
|
|
|
|||||
|
w L(t) = 0, |
|
|
|
|
|
|
||
то установившаяся |
реакция |
на |
k-u |
выходе |
равна |
[85, 111] |
|||
|
Х А * ) |
Mkj (/ш) |
Jmt |
|
|
|
(111.63) |
||
|
D (tm) |
е |
' |
|
|
|
|||
где M kj (ш) — определитель матрицы, |
|
которая |
получается из L |
||||||
вычеркиванием &-й строки и у-го |
столбца, |
а символ р |
заменен |
||||||
на £ш; D (ш) — определитель |
матрицы |
L, |
в |
котором |
оператор |
||||
дифференцирования р заменен на г'ш. |
|
|
|
составляет |
|
||||
Следовательно, частотная |
характеристика |
|
|||||||
|
ф*; («“ ) |
M kj (im) |
|
|
|
(III.64) |
|||
|
D (iw) |
|
|
|
|
||||
Согласно (111.55) весовая функция связана с частотной харак |
|||||||||
теристикой обратным |
преобразованием |
Фурье |
|
|
|
||||
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
—оо |
|
|
|
|
|
|
(іН-65) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уточним технику применения частотных характеристик к случаю, когда воздействием w(t) является запись ускорения основания.
Во внутреннем интеграле фоумулы (111.60) величина тег (t)
имеет размерность ускорения, тогда как в формуле (III.61) пра вая часть должна иметь размерность силы. Чтобы весовые функции, определяемые по формулам (III.65), сохраняли ту же размерность, которую они имеют в формуле (III.45) и предыду щих, следует определить частотную характеристику как отно-
П 6
шение реакции на воздействие т} еш к единичному
нию еші. Соответственно получим формулу
Вместо (III.64) будем писать
_ mj Mkj М
Ф кІ(ш) =
D (но)
Выражение (III.65) перепишется в виде
|
со |
|
V * ) = i |
I |
(* ■ > )*'"'< *«* . |
|
—оо |
|
ускоре
(111.66)
(111.67)
( ш -6 8 )
причем весовая функция будет |
иметь размерность |
реакции |
на |
||||
единичный |
импульс |
ускорения |
(а не |
силы, как |
в формуле |
||
(III.65)). |
|
внешнего воздействия, заданного |
ускоре |
||||
Для исследования |
|||||||
нием основания сооружения, удобно рассматривать систему |
с п. |
||||||
степенями |
свободы как имеющую один |
вход, подобно |
тому, |
||||
как это было сделано |
ранее (см. § 1 настоящей главы и |
далее). |
|||||
В соответствии с этим |
частотной |
характеристикой Фк (tu>) |
будем, |
||||
называть реакцию системы на k -м выходе при единичном уско рении основания. Аналитическое выражение для частотной ха рактеристики запишется как
ф» <“ > = z w |
“ А |
« 1'») = w |
s p |
<ІІШ > |
||
где Dk(i<o) — определитель матрицы, |
которая |
получается из мат |
||||
рицы L заменой k-то столбца на столбец |
|
|
||||
Обратное преобразование Фурье |
|
|
|
|||
|
|
оо |
|
|
|
|
М |
* ) = І |
I |
®k {to)eM da |
|
(III.70) |
|
дает весовую функцию |
на k-м |
выходе системы. При |
выполне |
|||
нии вычислений, соответствующих |
формулам |
(III.52), |
(III.70) и |
|||
др., удобно |
использовать |
аппарат теории преобразований Лап |
|||
ласа. Для этого |
следует |
аргумент іи> заменить на s = с + гш. |
|||
Вместо выражения (III.69) |
получим |
|
|||
|
|
|
|
D „ (s) |
|
|
|
|
ф > м = т т - |
( І І Ш ) |
|
Функция |
|
(s) называется |
передаточной функцией |
системы. |
|
Она связана |
с весовой функцией парой преобразований |
Лапласа |
|||
|
|
А* (0 = |
^7 |
) Ф * 0 0 ^ : |
(III.72) |
|
|
|
С — І оо |
|
|
117
ф *(s) = i К {t)<rsidt. |
(III.73) |
о |
|
Определенные таким образом 'частотная характеристика и пе редаточная функция равны отношению перемещения на выходе системы к ускорению основания, изменяющемуся по гармоничес
кому закону. Соответственно |
весовые |
функции |
(III. 70) или |
|||
(III. 72) будут весовыми функциями перемещения. |
||||||
Весовые функции для ускорений можно найти |
двукратным |
|||||
дифференцированием |
этих |
выражений |
по времени: |
|||
|
|
|
|
со |
|
|
А»*Ю = ~ Ъ г 5 |
w2<&b(iw)eM dw = |
|
||||
|
|
C-f/co |
|
|
|
|
= |
^ J |
j |
s2<&ft(sK ^ s . |
(III.74) |
||
Выражения |
C — loo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
св2ФЛ(iw) |
и s2®ft (s) |
|
|||
будем называть частотными характеристиками и передаточными функциями для ускорения и обозначим ФшЛ (гш) и Фшк (s). Ана
логично
ФіА (iw) = т у Фй (ію) и Фік (s) = mks2ФА(s)
будут частотными характеристиками и передаточными функция
ми для сейсмической |
нагрузки. |
На основании |
соотношения |
||
(III. 52) частотные характеристики могут быть |
определены эк |
||||
спериментально, путем обработки записей на входе и |
выходе |
||||
системы. Частотная характеристика |
находится по формуле |
||||
|
ф* (м>) |
skx (Н |
|
(III.75) |
|
|
Sw(Н |
|
|||
|
|
|
|
||
где в числителе стоит преобразование Фурье, или комплексный спектр реакции на k-м выходе, а в знаменателе—преобразование Фурье записи ускорения основания. Если вместо преобразований Фурье применить преобразования. Лапласа, получим формулу для передаточной функции
ф* (s) = |
$kx Is) |
(III.76) |
^ 00 |
Выражения (III.70) и (III.75) дают решение задачи об экспери ментальном определении весовой функции:
2тГ |
S kx (іа>) |
еш d ш. |
(III.77) |
0'">) |
|||
|
— <м |
|
|
■118
Обратное преобразование Лапласа дает другое выражение для весовой функции:
С-И оо
С~ ico
Размерность Фл(гш) зависит от размерности реакции x k (t). Если х к (і) — запись ускорения на к-м выходе, а w (t) — ускоре
ние основания, то формула (III.75) дает частотную характерис тику для ускорений ФшЛ(гш), а формула (III.77) — весовую функ
цию ускорений. То же относится к формулам (III.76) и (III.78). Частотные характеристики часто используются для определе ния спектральной плотности и дисперсии реакции системы.
Спектральная плотность определяется выражением
5 cK ) = J - | 5 A.(tu))p. |
(ПІ-79) |
J X |
|
Средний квадрат реакции (дисперсия) равен |
|
т |
(III.80) |
1X |
|
где Тг — время существования реакции. |
|
В подынтегральное выражение могут входить как вероятност ные спектры, так и спектры отдельных •воздействий. Под последни ми понимаются записи ускорения грунта при различных возму щениях.
Остановимся на определении размерностей частотных харак теристик и передаточных функций.
При аналитическом определении частотных характеристик по формуле (III.73) имеем следующие соотношения. В уравнении (III.61) правая часть имеет размерность силы, а неизвестныеразмерность длины. Следовательно, все элементы матрицы L
F |
размерности длины), и |
имеют размерность ~ (а — обозначение |
|
[D (ш)] = Fna~n. |
|
Определитель Dk(i(o) отличается от |
D(m) только одним |
столбцом, в котором элементы матрицы |
заменены массами m.j. |
Поэтому |
|
р й(го))] = Fn- l or(n~l)M.
Отсюда получаем размерность частотной характеристики для перемещений
[Ф (гео)] = F ' 1LM = Т \
119