Файл: Д’Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез-1.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 60

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Размерность частотной характеристики для ускорений ФѴ) (ш >

будет равна нулю. Точно такие же размерности частотных ха­ рактеристик получатся и из формулы (III.75), что вытекает из структуры этой формулы. Те же размерности имеют передаточ­ ные функции Ф (s). Из выражения (III.77) следует, что весовые функции перемещений будут иметь размерность Т, а ускоре­

ний — Т~1,

что согласуется с результатами, изложенными в § 5-

настоящей

главы.

 

 

 

 

 

При практическом

использовании

формулы

(III.

77)

или

(III. 74)

можно преобразовать к действительной

форме.

 

Если

система

описывается

уравнениями (III.

64), матрица

которых

состоит

из

дифференциальных операторов второго порядка

с

действительными коэффициентами, то частотные характеристики

являются дробно-рациональными

функциями аргумента (со.

Поэтому они могут быть представлены в виде

 

Фй(м>) =

И

+ ІФ« (to),

(HI.81)

где Ф і— четная, а Ф2— нечетная

функция аргумента со.

Урав­

нения затухающих колебаний, рассмотренные в глаіве II, отвечают

этому условию и удовлетворительно описывают колебания

реаль­

ных сооружений, поэтому будем считать представление (III. 81) справедливым по отношению к аналитическим и эксперименталь­ ным частотным характеристикам. Подставляя (III. 81) в (III. 75) и (III. 77), приходим к выражению весовой функции в действи­ тельной форме:

 

 

 

 

 

со

 

 

 

 

 

 

 

k(t) = -^-

I [Ф16 (ш) cos ut — Ф2Й(ш) sin <о£] du.

 

(III.82)

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

Возможность представления частотной характеристики

в

ви­

де

(III.

81)

с

Фі—четной и Ф2— нечетной функциями

со

нужно

рассматривать

как

необходимое условие существования весовой

функции. Если бы указанные условия четности

не соблюдались»

функция h(t)

имела

бы комплексные коэффициенты,

что

лишено

физического

смысла.

 

 

реакции и

 

Найдем действительную форму h(t) через спектры

воздействия. Вывод

сделаем независимо от формул

(III.

81)

и

(III. 82) для того, чтобы подчеркнуть физический смысл

усло­

вия

(III.

81).

на входе системы, заданное в

виде

 

ускорения

 

Воздействие

 

основания сооружения, и реакции на всех выходах суть действи­ тельные функции времени. Их .комплексные спектры имеют вид

со

(im) =

j w (t) e~M dt = lx(ш) - il2(о»),

(III.83)

0

 

где /j — косинус-преобразование Фурье функции w (t) и

 

 

00

 

/j

= § w (t) cos M t ,

(III.84)

 

<>

 

120

a Jj — синус-преобразование

со

/ 2 = J w (і) sin mtdt.

о

Аналогично, для спектра реакции напишем

Sx (fco) = (со) — iJ2(ш),

где

Уі = f л: (£) cos соЛ#

о

D

У2 = J а:(£) sin cuA/£

(111.85)

(111.86)

(111.87)

Из выражений (III.84) и (III.85) или (III.86) вытекает следую­ щее свойство комплёксных спектров действительных функций:

 

 

 

 

 

S ( - m ) = S*(iv).

 

 

 

(III.88)

Частотную характеристику представим в виде

 

 

 

 

Ф (ш) =

Sw('“)

= Ct ( CD) -f- іС2(ш).

 

 

 

 

 

 

 

S x ( Іи:)

 

 

 

 

 

 

Возможность такого представления следует из (III.83) и

(III.86);

оно не содержит никаких предположений о

четности

функций

С, и

С ,

 

 

 

 

 

функции

теперь

можно

преобра­

Выражение для весовой

зовать:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*(*)= f

-- m(/M)

6Wüfco = f

$w (*'“)

е

ІШ , .

 

 

 

5 , И

acu -j-

 

 

 

 

J

 

5 Г(/Ш)

 

 

J

 

 

 

 

 

 

—OO

Л

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

OO

 

 

 

 

OO

 

 

 

 

 

 

п

~ай' ы)У~е

 

п

 

 

öfcu

 

 

J*

Г

 

( г’ш)

- і ш і J

 

Г , п

. . п ,

2<оі

 

 

+ J

 

 

 

 

<С“= )(С.+‘С,)«

 

 

 

ТО

 

 

 

 

 

СО

 

 

 

 

 

 

+

(С, — г'С,) e~lU3idw = 2

j(С, cos cu£ — С2 sin cozf)<іш,

'111.89)

где

 

 

 

 

 

 

АЛ + АА

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ct =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г2

I

г2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У 1

+

у 2

 

 

 

(III.90)

 

 

 

 

 

г

_V : + АЛ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 ""

Г)

 

Г)

 

 

 

 

Л + У£

Вычисления Л(У) по формулам (III. 89) и (III. 90) легко мо­ гут быть запрограммированы для ЭЦВМ.

121'

В технике анализа линейных систем для экспериментального определения весовых функций нередко используются соотно­ шения между корреляционными функциями на входе и выходе системы, называемые соотношениями Винера—Ли [46, 408]:

со

 

 

 

K r m =

1 щ

 

 

 

 

 

 

—оо

 

 

 

 

 

 

Kyy(t)=

I h { t - ^ ) K yxWdx

[f

(III.91)

 

 

 

или

—со

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

?h/i — корреляционная

функция весовой функции, для кото­

рой

справедливы

равенства

 

 

 

 

СО=

оо

А(О А (é +

 

оэ

 

 

 

J

-с) dt

= JL j I Ф (гео)I2 Л

» .

(III.92)

 

 

—ОО

 

—ОО

 

 

 

Построение

корреляционных

функций для воздействий

взры­

вов и слабых землетрясений, для которых в основном и предназ­ начены излагаемые здесь методы, затрудняется тем, что записи имеют малую продолжительность, в силу чего корреляционные функции можно построить только для малых значений t. Можно, однако, определить весовые функции по формулам (III. 91),если

по численным значениям корреляционных

функций, определен­

ных для

малых t, найти их

аналитические

аппроксимирующие вы­

ражения,

аналогичные

тем,

которые

использованы в § 2 гл. I.

Тогда в

интегральных

уравнениях

(III. 91) будут известны точ­

ные значения корреляционных функций в левой части под знаком интеграла и для численного определения ординат h(t) формаль­ но окажется возможным применение метода последовательного исключения неизвестных из уравнений (III. 51) с треугольной матрицей. Полезность получаемых оценок функций h(t) должна быть дополнительно исследована.

Изучение корреляционных функций на входе и выходе сис­ тем инженерно-сейсмометрической службы представляет интерес

и в других отношениях, например,

для исследования

вероят­

ностных характеристик

слабых землетрясений.

Поэтому

вычис­

ление функций Kxx{t),

К ху (t) и Kyy(t)

должно

быть включено в

программу обработки материалов сейсмометрических станций. Принимая во внимание малую продолжительность процесса, ре­ комендуем пользоваться формулами, приведенными в § 1 гл. I.

•122

§ 8. С тандартны е расчеты на сейсмические воздействия

Согласно строительным нормам и правилам, принятым в

СССР, а также зарубежным строительным кодам, сейсмостойкие сооружения должны удовлетворять расчету на условные статиче­ ские нагрузки, заменяющие действие землетрясений. Анализ сей­ смических движений основания сооружения, так же как и иссле­ дование динамических свойств сооружений, показывает, что ве­ личины расчетных нормативных нагрузок и характер их воздей­ ствия не эквивалентны действию землетрясений и не отражают динамических свойств сейсмического процесса. В главе I было показано, что нормативная спектральная кривая, принятая в СНиП ІІ-А 12-69, не соответствует вероятностным спектрам уско­ рений грунта. Тем же недостатком страдают и спектры, принятые в заграничных кодах. Было показано также, что путем уточнения спектральных характеристик на основе изучения статистических свойств акселерограмм нельзя получить хорошего соответствия расчетных сейсмических воздействий действительным.

Лучшее приближение к действительному состоянию сооруже­ нии при землетрясении может дать расчет на воздействие акселе­ рограмм прошлых землетрясений, однако для получения надеж­ ных результатов необходимо исключить влияние случайных фак­ торов.

Периодограммы сейсмических

ускорений,

приведенные в главе

I (рис. 15—19), показывают, что

спектры

отдельных акселеро­

грамм имёют резко выраженный колебательный характер. В силу этого результат расчета отдельного сооружения или абстрактной модели на воздействие заданной акселерограммы будет сильно зависеть от случайного расположения спектра собственных частот относительно спектра землетрясения.

Периодограммы в окрестностях максимумов и минимумов обычно имеют крутой наклон, поэтому незначительное изменение частоты колебаний сооружения будет существенно менять величи­ ну сейсмического воздействия. Так как при проектировании зда­ ний и сооружений частоты собственных колебаний известны только приближенно, то ясно, что результат расчета на воздейст­ вие акселерограммы будет случайным. Причинами, обусловли­ вающими случайность результата, являются колебательный ха­ рактер периодограммы и недостаточно точное определение спект­ ра собственных частот при проектировании сооружений. При этом случайное значение будут иметь не только количественные пока­ затели расчета, но и форма распределения сейсмических воздей­ ствий по высоте сооружения, так как случайную величину будут иметь составляющие по всем формам колебаний.

На рис.

33

приведен спектр ускорений акселерограммы 8-8

Г-40. При изменении

периода первой формы собственных колеба­

ний здания

на

10%

сейсмическое воздействие изменится почти

в два раза.

 

 

 

При расчете по спектральным кривым применяются различные методы сглаживания спектров, к числу которых относится и пост­ роение вероятностных спектров. Эти методы не применимы к от­ дельным акселерограммам, так как сглаженные акселерограммы не имели бы никакого смысла.

Конечно, этот недостаток расчета на реальные акселерограм­ мы в известной мере компенсируется осреднением результатов расчета на несколько различных акселерограмм, что иногда и при­

нимается

в качестве методики, исключающей

случайные ошибки.

 

 

 

 

 

На самом

деле

такое

 

решение

 

 

 

 

 

проблемы

принципиально непра­

 

 

 

 

 

вильно

и не исключает

 

фактора

 

 

 

 

 

случайности.

Вполне

возможно,

 

 

 

 

 

что некоторая

частота, имеющая

 

 

 

 

 

существенное

значение для дан­

 

 

 

 

 

ной

модели, на всех выбранных

 

 

 

 

 

для расчета акселерограммах ока­

 

 

 

 

 

жется

вблизи пика или

провала

 

 

 

 

 

спектральной

 

характеристики.

Рис. 33.

Расположение

периода

Поэтому исключения фактора слу­

первой

формы колебаний

соору­

чайности

необходимо

достигать

жения

относительно

спектра ре­

другими

средствами и для

каж­

 

 

акции.

 

дой

акселерограммы

в

отдель­

 

 

 

 

 

ности.

 

 

 

 

 

 

 

Одной из возможностей является построение моделей с пере­

менным

спектром.

 

модель

сооружения примем столбец

ве­

За математическую

совых функций hk (t ) в соответствии с выражением (III.5),

неза­

висимо

от того, каким

способом — теоретически

или

 

экспери­

ментально — они

определены.

Установим

важное

 

свойство

весовых

функций

ускорений, заключающееся

в

том,

что

если

частоты всех форм колебаний умножить на один и тот же коэф­

фициент V,

то весовая функция для новой

системы

получится

из исходной путем умножения функции и ее аргумента

на тот

же коэффициент ѵ.

Обозначим

весовую

функцию

ускорений

системы,

имеющей

некоторый

спектр

собственных

частот

ші, ш 2......, через h(t).

Весовую функцию другой системы,

имею­

щей спектр частот

ѵш2.......

обозначим

Лѵ(£). Тогда

будет

справедливо соотношение

 

 

 

 

 

 

А (t) = vA (v^).

 

 

(III.93)

Это выражение имеет и самостоятельное значение. Оно может

быть использовано при вычислении весовых

функций

или

при пе­

рерасчетах, связанных с изменением параметров жесткости или на­ грузок сооружения.

Доказательство следует из формулы (III. 10). Под знаками экспоненциальных и тригонометрических функций находится про­

124

Смотрите также файлы