Файл: Д’Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез-1.pdf

В рассмотренной'выборке акселерограмм отношение a:ß меняет­ ся в пределах

0,15 < - |г - <0,72 .

Чтобы охватить н другие возможные случаи, рассмотрим более широкий диапазон:

0 < - “- < 0 ,8 .

Подставив крайние пределы в формулу (1.30), найдем 0 ,9 6 < £ < 1.

Следовательно, приближенное значение действительного поло­ жительного корня уравнения (1.28) будет

ш= 0,98 ß (1.31)

с ошибкой в ту или другую сторону не более 2%. Это означает, что максимум спектральной плотности приближенно совпадает с па­ раметром корреляционной функции ß.

Подставляя формулу (1.31) в выражение спектральной плотно­ сти (1.25), находим:

Установим соответствие между амплитудным спектром и спект­ ральной плотностью. На основании (1.16) имеем оценку

Следовательно, приближенное значение приведенного ампли­ тудного спектра можно получить, зная спектральную плотность и продолжительность процесса. Степень сходимости оценки (1.33) остается неопределенной, однако далее, сравнивая теоретические результаты с эмпирическими данными, мы увидим, что она доста­

32

Формулы (1.34) и (1.32) приводят к следующему приближен­ ному значению максимума нормированного амплитудного спектра реакции:

В формуле (1.36) можно положить WÄ0,98ß на основании

(1.31).

Для вычисления объемлющей спектральных максимумов по формуле (1.36) необходимо установить зависимость между пара­ метрами а и ß. На рис. 21 эта зависимость изображена по данным

Рис. 20. Максимумы приведенных спектров реакции и объемлющая по полуэм­ пирической формуле.

табл. 1. Ввиду большого разброса значений а задача построения аналитического выражения, аппроксимирующего эту зависимость, привела бы к довольно громоздким формулам. Однако задачу можно значительно упростить, основываясь на следующих сооб­ ражениях.

Из формулы (1.36) можно видеть, что І^ .| является убыва­ ющей функцией а. В этом нетрудно убедиться, найдя производную

d 1^Л' 1 Следовательно, чтобы по формуле (1.36) найти объемлю-

да

щую спектральных максимумов, следует учитывать при соответ­

ствующих ß только наименьшие значения а. Этому условию удовлетворяет прямая, показанная на графике. Ее уравнение

По поводу диаграммы на рис. 21 заметим, что землетрясения,, по-видимому, бывают двух типов: один соответствует малым зна­

чениям а, другой характеризуется отношением ос:ß, близким к 0,5.

Последнему типу землетрясений соответствует зависимость a(ß), показанная на графике пунктиром. Представляет несомненный интерес исследование этой зависимости и связи ее с макросейсмическим эффектом землетрясений.

Рнс. 21. Диаграмма зависимости a(ß).

рограмм семи- и восьмибалльных землетрясений одинаковы. Сле­ довательно, интенсивность землетрясений можно учитывать коли­ чественным коэффициентом. Это относится только к характерис­ тикам движения основания, а не к макросейсмическому эффекту, где изменение интенсивности всегда связано с качественными пере­ ходами.

На рис. 21 только одна точка из 26 оказалась ниже прямой (1.37), следовательно, можно считать, что эта прямая соответст­ вует минимальным значениям а.

Подставляя (1.37) в (1.36) и меняя обозначения ß на ш, по­ лучаем уравнение объемлющей спектральных максимумов ре­ акции

34

Построенная по этому уравнению кривая на рис. 20 находится в удовлетворительном согласии с эмпирическими точками. Кривая,

мумов за пределами эмпирических точек, необходимо рассмотреть предельные значения спектров при ш оэ и со 0. Для этой цели приближенные формулы не могут быть использованы, поэто­

S,(/«о, І)- - 4-[ ®о(0 е~ш-®0(°) 1+-ті Ч ^е~Ы'dx-

о

Разобьем промежуток интегрирования (0, t) на достаточно большое число п равных отрезков и будем аппроксимировать функцию w0 (t) ломаной линией по уравнению

Участок обработки акселерограммы обычно выбирается такими

35

Поскольку ордината Wo(t) в конце интервала обработки аксе­ лерограммы ничем не обусловлена (кроме того, что эта величина должна быть малой по сравнению с амплитудами w0(t) в наибо­ лее существенной фазе процесса), предельное значение спектра реакции в установившемся режиме является случайной величиной, которая для отдельных реакции может обращаться в нуль.

Иначе обстоит дело со спектром переходного режима (спек­ тром максимальных сейсмических воздействий). Из (1.43) следует:

.или для нормированных величин k

Математическое ожидание этой величины (найденное в предполо- •жении ее равномерного распределения) принято за начальную ор­ динату объемлющей кривой на рис. 20. При Г < 0,22 сек. кривая построена приблизительно и проходит через эмпирическую точку при 7 = 0,13 сек. При этом использовано очевидное равенство

Объемлющая кривая на рис. 20, соответствующая формуле (1.38), связана с выборкой акселеро£рамм, представленной в

табл. 1, только законом изменения a(ß). Очевидно, увеличение объема выборки не приведет к существенному изменению этой за­ висимости: малые значения а характеризуют почти регулярные процессы с большим временем корреляции, что не соответствует землетрясениям так называемой средней продолжительности. По­ следние являются предметом изучения инженерной сейсмологии, см. (145). В остальном рассматриваемая кривая построена в пред­

36

положении экспоненциально-косинусного вида автокорреляционной функции сейсмического ускорения. Эта функция, как было показано в § 2, не отражает всех свойств сейсмического ускорения, но в ка­ честве некоторой абстрактной схемы применяется для весьма широ­ кого класса случайных процессов. Поэтому закон убывания макси­

смических спектров от динамических свойств грунта. По его дан­ ным объемлющая максимальных ординат спектров ускорений для землетрясений, приведенных к одинаковым магнитуде и эпицент­ ральному расстоянию, представляет собой кривую, убывающую по мере возрастания периода. Таким образом, работы К- Канан качественно подтверждают полученные нами выводы. Более де­ тального сравнения сделать нельзя, так как условия нормирования кривых совершенно различны, и графики К. Канаи построеньи в более узком диапазоне 0,2-=-1 сек.

Проведенное исследование дает основания для следующих вы­ водов: сейсмические процессы не стационарны и одной из суще­ ственных причин этого является малая продолжительность процес­ са по сравнению с периодами составляющих его колебаний; спектры сейсмических ускорений суть случайные функции и не могут считаться устойчивыми характеристиками механических свойств процесса; неслучайными характеристиками можно счи­ тать объемлющие спектральных максимумов, построенные по мно­ жеству нормированных реализаций, при условии, что выборка реализаций представительна по частотному составу; объемлющие могут быть построены теоретически, на основе использования пре­ дельных значений параметров корреляционных функций. Эти вы­ воды имеют существенное значение, так как позволяют, по край­ ней мере в принципе, с помощью одной спектральной кривой дать верхнюю оценку воздействия землетрясений различного типа, причем эта кривая не вырождается в горизонтальную линию, про­ веденную на уровне спектрального максимума в высокочастотном диапазоне.

При построении таких кривых необходимо учесть влияние за­ тухания при колебаниях сооружений. На основании данных, при­ веденных в § 1, а также работы [138] на рис. 22 показана зависи­ мость максимальных ускорений системы с одной степенью свобо­ ды от декремента колебаний б. За единицу принято максимальное ускорение системы без затухания. При построении этих кривых принят во внимание коэффициент увеличения ускорения в пере­

37