Файл: Стернин, Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения в бесконечном цилиндре [учеб. пособие].pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 112

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

ограничиваемся

лишь формулировками теорем.

 

 

§ I . Семейства

квазиэллиптических задач С.Л.Соболева

 

(вопросы разрешимости и регулярности)

 

 

I .

 

Функциональные пространства. Пусть

X -

гладкие

.пактное многообр

зие

без

края. Через Х ,р

ы

будем

обозначать

гладки

подмногообразия

многообразия Д

с

коразмер­

ностями ( i

X

)

равными

Уу Z і .

 

 

 

Пусть

і

г

(Г

-

координата

на комплексной

плоскости

(Г и пусть

£,

Y

- вещественные числа. Определим семейство

пространств С.Л.Соболева Н S, ^ ( X ) параметризованное

(конечной) комплексной плоскостью, как пространство распреде­

лений с нормой

 

 

 

 

I

(и />+\^)і/з-f l .

 

(i.'O

 

 

 

 

 

 

Здесь,

как

обычно,

символом

| • |j

мы

обозначаем

норму в [j ;

£

-

положительный

оператор

Лапласа

(относительно некоторой

римановой метрики)

на многообразии

 

X

•

Поскольку риманова

метрика

намногообразии

X

индуцирует

некоторую риманову мет­

рику на

подмногообразиях y f

> т 0

на

 

этих

подмногообразиях

также

можно определить

пространства

типа

И 5 , ц [ Хр

 

 

2 .

 

Граничные

операторы.

Г р а н и ч н ы е

о п е р

р н -

элементарный

и общий вводятся

совершенно

также

как это

было сделано во второй главе.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поскольку при каждом фиксированном (и конечном)

ü про-

с

ранство

Hs,» (X) эквивалентно

пространству

Н £

( X I , »

нетрудно показать (см ., например,

) , что элементарный гра­

ничный оператор

 

( X ) - H

s. ^ r ( X f ) /s>g>

непрерывен. Однако, для нас будет важна равномерная непрерывност

по параметру,

и мы дадим определение (равномерной) непрерывно­

сти в следующей общей ситуации.

 

 

 

 

Пусть £ ( i ) , FC^

- семейству банаховских пространств,

параметризованное точками комплексной плоскости и

 

 

А ф

: ЕСі)

—

»

F O ;

 

 

о л )

семейство операторов с тем же пространством параметров.

О п р е д е л е н и е

 

1 .4 .

 

Будем говорить,

что семейство

(3 .4 )

н е п р е р ы в н о ,

 

если

существует

такая

постоянная

С-окуЬ

, не

зависящая

от

элементов H fE fë)

и параметра

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1А [г)

Ц р ^

 

с е м *

II ч- II ^

 

 

П р е д л о ж е н и е

 

1 .4 .

 

Элементарный граничный опера­

тор (2 .4 ) непрерывен, если

в-

о .

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

 

Очевидно,

все

оценки носят

локальный характер, поэтому не уменьшая общности можно предпо­

ложить, что

мы находится

в ситуации

пространства

R

|^.Ѵѵ>

М р. пусть

( х

х )

у

- координаты

пространства

- 127 -

так что п о дп р о стр ан ство

вы деляется уравнением

 

П у с т ь

" К * 1 j ) - ф у н к ц и я , п р и н а д л е ж а щ а я п р о с т р а н с т в у

Н 5,5"

»

Т0,'Да

 

f C x ,

О)

 

 

 

г д е ч е р е з

£ (<£ , y j

м ы - о б о з н а ч и л и п р е о б р а з о в а н и е Ф у р ь е ф у н к ­

ц и и

- ^ С ^ , у )

. С л е д о в а т е л ь н о ,

K f 6 w > ) | s_ y > r = j (

I

 

О ц е н и м в н у т р е н н и й и н т е г р а л

(

\ Н

^

ч

) ЛлО

г' ( f X t v■\‘У+і4‘1г+І*І1ііІ2І*г) cty.

■

I -

 

d

7

(5 .4 )

 

 

л и т ь

П о с л е д н и й м н о ж и т е іь в р а в е н с т в е ( 5 . 4 ) м ож н о я в н о в ы ч и с ­

1

о Ц

_

 

 

( 6 . 4 )

г д е

J

( і * \ * І гі I r f t l i l f t ) S

b f

с о

- а б с о л ю т н а я п о с т о я н н а я , з а в и с я щ а я т о л ь к о от S .

П о д с т а в л я я т е п е р ь в ы р аж ен и я ( 5 . 4 ) и ( 6 . 4 ) в ф о р м у л у ( 4 .4 ) ^ мы

- 128 -

получаем,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

Ufils-lw

é

 

1

1I f s

v,

 

 

где сочуЬ

не

зависит

от

?

я |

. Утверждение, а

следова-

(

тельно и предложение 1.4

доказано.

 

 

 

П р е д л о ж е н и е

 

2 .4 .

Пусть ЭСг/ Ъх,

і )

j

- семейство дийхЬеренпиальных выражений попядка

 

[

. Тогда се—[

мейство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

■ H

s

. r f

X

)

H— -»,г (X)

 

 

непрерывно.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Из определения порядка cne-j ратора Т> следует, что его символическая часть допускает оцен­ ку

I

 

écoHyt

(u(4\% izjPrJ %

 

 

где coh-fi

не

зависит

от

і

•

 

 

 

Из этого неравенства уже элементарно следует нужное ут­

верждение.

 

 

 

 

 

 

 

 

С л е д с т в и е

1 .4 . Пусть

 

 

^

р ° Ь

•

f X )

—

>rls-K-Jf, $ (X^)

 

семейство

общих граничных

операторов порядка

. Тогда

оно

непрерывно.

 

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о

следует из

определения

об-

 

 

-

129

-

 

 

 

 

Смотрите также файлы