Файл: Стернин, Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения в бесконечном цилиндре [учеб. пособие].pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 108

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

следует

из предположения 2.4 и следствия

1 .4 .

 

Доказательство существования непрерывного обратного опера­

тора (т>, Ь )Н(Ъ)

при достаточно больших

|£)

мы опускаеи. Оно

достаточно длинно, хотя (как ухе указывалось во введении) в

принципе довольно

просто восстанавливавтся из

соответствующего

доказательства изоморфизма краевых задач,

зависящих от

парамет­

ра, предложенного Аграновичем и Вишиком в их совместной

работе

Г 1 ]

и доказательства почта изоморфизма

задач С.Л.Соболева,

содержащегося в статье автора [1ZJ . Единственное же нетривиаль ное место - независимость оценок от параметра - наглядно про­ демонстрировано в доказательстве непрерывности оператора.

5.Регулярность решений семейства квазиэллиптических зад

Вотличие от квазиэллиптических операторов, рассмотренных в

первых двух главах, семейства квазиэллиптических операторов Соболева не являются гипоэллиптическими семействами. Соответ­

ствующий

пример см. например в [)3 ]. Однако квазиэллиптические

семейства Соболева являются частично гипозллиптическими по

 

переменным "касательным" к подмногообразию.

 

 

Сформулируем понятие частичной гипоэллиптичности. Пусть

пространство [RѴ с

координатами х

-

* *0

раз­

ложено в прямую сумму подпространств

и

$ у

 

 

| RV =

(Ян ф /К >

 

у

 

 

 

 

 

 

так что

ас = £ > / ? )

У t &

■

 

Точками двойственного пространства (относительно преобразова­

ния Фурье)

будут

служить

последовательности

чисел

^ =

, *

к )

и

^

&

7 А

,

 

И

 

- ІЗ б -

Пусть S/ t - произвольные вещественные числа. Определим пространство H s , t ( l R rl) как пространство распределений с нормой

lif t , г - (.

Предположи, далее, что в некоторой окрестности начала координаті/пространства определено дифференциальное выраже­ ние порядка ум.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(19.4)

 

О п р е д е л е н и е

4 .4 .

Мы скажем,

что дпфференцируь-

ное

выражение (19 .4)

ч а с т и ч н о

г и п о э л л и п т и ч -

н о

п о

п е р е м е н н ы м * : 7 ; если

всякое

решение

 

 

 

УРавнения

 

 

 

 

 

 

 

Ь U. =

£

 

 

 

 

 

 

принадлежит

пространству

H t ^ C ü )

со

сколь угодно высокий

t 7

коль скоро правая часть

этого

уравнения

J

принадлежит

пространству

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

2 .4 .

Пусть

 

 

 

 

 

з : н ч

(Х) -

 

 

 

 

а

 

( X , ) -

 

 

 

 

 

 

?

т

 

 

 

семейство квазиэллиптических операторов. Тогда это семейство

гипоэллиптично в каждой окрестности многообразия

X ^ ^

а в окрестности, содержащей точки

границы

[}

Х/р ~ частично гипо-

 

 

 

-

137

-

 

 

 

 

 

э л л и п т и ч н о

по " к а с а т е льн ы м " к

п о д м н о г о о б р а з и я м X

п е р е м е н н ы м .

Д о к а з а т е л ь с т в

о

д л я о д н о г о о п е р а т о р а п о л у ч е ­

н о нам и в

р а б о т е Г і 2 ^ . О с т а е т с я

т о л ь к о з а м е т и т ь ,

ч т о э т о д о к а з а ­

т е л ь с т в о с о х р а н я е т с и л у и д л я н а ш е г о с л у ч а я , п о с к о л ь к у в с е н е о б ­

ходи м ы е к о н с т а н т ы в о ц е н к а х м о к н о в ы б р а т ь р а в н о м е р н о п о п а р а м е т ­

ру

§ 2. Асимптотическое поведение собственных и присоединенных

функций задачи Соболева-Штурма-Лиувилля вблизи граничных подмно­

гообразий.

 

 

 

О п р е д е л е н и е

5 .4 . Вектором

И

, ассоциирован­

ным с оператором Соболева-Штурма-Лиувилля

и соответствующим

собственному значению 2 * 2 «

кратности W

мы

называем любой

вектор из ядра оператора

 

 

 

\

( 2 0 .4 )

( Р , В ) ‘ М ’ ( « 0 ...................

I

Вектор

имеет І£

компонент

- 138 -

при этом его нулевая компонента

U,ö

называется

с о б с т в е н

н о й - ф у к н ц и е й

(присоединенной функцией нулевого

порядка), первая

компонента

[Л^

-

п р и с о е д и н е н н о й

ф у н к ц и е й

п е р в о г о

п о р я д к а

и т .д .

Мы уже указывали,

что в

отличие

от случаев,

рассмотренных

ЕО второй и третьей главах, квазиэллиптический оператор Собо­ лева не является гипоэллиптическим, а, следовательно, не

является гипоэллиптическим и оператор (20.4) - оператор, ассоциированный к оператору Соболева-Штурма-Лиувилля.

Целью этого параграфа является получение асимптотического

разложения собственных и присоединенных векторов задачи Собо­ лева-Штурма-Лиувилля вблизи граничного подмногообразия.

2. Формулировка основной теоремв. Сформулируем теперь нашу основную теорему об асимптотическом разложении собственных и присоединенных функций задачи Соболева-Штурма-Лиувилля вблизи

граничного

подмногообразия.

 

 

 

 

Т е о р е м а

3 .4 . Пусть функция

W. fr Н $

является

собственной или присоединенной функцией оператора Соболева-

Нтурма-Лиувилля,

, В3СS )

* оідечающей собственному

значению

Ъ с Н о

• Тогда в некоторой трубчатой окрестности

любого из

подмногообразий

X р

Функция

W СУ)

может быть

представлена следующим асимптотическим рядом ..

 

 

U ( X ) e r U 6 + U , - f -----

,

 

(25^f)

где

 

 

 

 

 

 

- 139 -

tu- V - +

 

 

 

 

 

 

 

четно

U1 О ) =

■<

 

 

 

 

 

(26 .4)

 

 

 

 

 

 

 

С*)

-

бесконечно дифференцируемые функции в трубчатой

окрестности,

а

Ъ

-

расстояние

от точки

до подмногообразия

I

о п

з

а I

е

л ь с в о

этой теоремы разбивается на

несколько этапов. Вначале мы исследуем случай, когда граничное

подмногообразие состоит из одной точки. Мы получаем нужное раз­ ложение сначала для собственных функций, затем для присоединен­

ной функции І-го порядка, и, наконец, для присоединенных функ­ ций произвольного порядка. Переход к случаю подмногообразия произвольной размерности редуцируется к рассмотрению семейства

одноточечных ситуаций и, в соединении с теоремой о гладкости

решения вдоль подмногообразия, довольно быстро приводит к нужно му результату.

3. Асимптотика

собственных функций. Пусть Uo = и. f- H t { X )

соо'ственная функция

оператора Соболева-Штурма-Лиувилля,

принад­

лежащая собственному значению і о . Это означает, что

функция

иявляется нетривиальным решением задачи

Ъ ( х ,

іо) И

-= Ö

С

. )

(27.4)

 

юс*)

-о

но,

U Xyf

(28.4)

 

 

 

 

 

Наши рассуждения будут носить локальный характер. Поэтому мы рассмотрим решение задачи(27 .4), (£8.4) в окрестности какого-')

- 140 -

Смотрите также файлы