Файл: Стернин, Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения в бесконечном цилиндре [учеб. пособие].pdf

квазиэллиптическая

пограничная

задача рода 'ß' в пространстве

j *

и

Si h сА+)0і -

г г \

. Тогда

для любой функции - І Ы /і)

(■

п

L L '

J

!

522.

[ ч

,

с1; - -

C«)

,

гді

t t f

, I

К c i j __,

-f

-

комплексные

числа, и. более того, справедливо

следующее

априорное

неравенство

^ ^

+

Г

ІСісі

* 0 ) к И і І £ [ [

• У.XjUjO1-'

'(24 .5)

К -

1

i

J

где

постоянная

c v * * t

не

зависит от

функции

и. С*> ~Ь) •

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Найдем

вначале

постоянные

с <>

--■?

С<.

•

Для

этого перенесем

содержащие

их

члены в

правую часть

уравнения

(2 3 .5 ) и потребуем,

чтобы полученная

таким образом

правая часть

была

ортогональна

коядру

оператора і

Т ) ;

|.

(

{

-

Z

Ск. Ъ к Ъ М ) ,

t j

С ъ Ѵ )

— О

.

(25.5)'

Система

(2 5 .5 )

является системой

линейных

алгебраических

уравнений

Z ^

( D K Z , е . )

-

еу )

(2 6 .5 )

относительно

чисел

•

с

матрицей

(

е ,-)

(27 .5)

которая

невырокдена

в силу

квазиэллиптичности

задачи

(2 3 .5 )

Определив

таким образом

коэффициенты

с*

С*

мы

181

-

в силу условия

(2 5 .5 )

найдем

решение

иС*гі)

уравнения

ѣ и =

1

с іс

(2 8 .5 )

принадлежащее

пространству

Н S, f'

,

.

Это решение будет

•единственным в силу мономорфности оператора

Более

того

из системы (2 6 .5 )

следует, что для

чисел с«,

справедливо

неравенство '

I С|с|

^

Cohyt

If £■![ s-к*,

,

(2 9 .5 )

а из уравнения

(2 8 .5 )

мы получаем,

что

менного и найдем базис ядра в явном виде,

а следовательно, по­

лучим явное

выражениеЛдля матрицы (2 7 .5 )

и соответствующих дѳ-|

терминантов,

а также и явный

вид решения

(ко) граничной задачи

при некоторых (ко) граничных

операторах.

I . Уравнения в пространствах Ң s,

оЦ, ji

с

<*+ <

.

9 (Хс.с.-исч'іт м, ^рл4>ишіН-

# и

iJjA

с lü*< Ы

( ъ і \ Ю

dt1 +

^yfc-

Л aiü-jruMCL- (Ч-s) u-u-tev

I

(3 2 .5 )

\

тра

о ,

а остальные

одномерные блоки отвечают простым точ­

кам спектра

г-=±ікі?о

. Поэтому решениями (собственными

функциями)

уравнения

I

С 1

^ 4 * 1 *

п -t CIXIZ

ч

^ к е

*

з

-i'iK/x,

X £

J + Ъ (ё + !><:,) Г г

UCfX.)

L

* і

+

<■

С

- 183

-

Ч?

г-ѴГОГ*.Ѵ*ь.-

C1 t

с х t +

__

_ /л^/ ( i t Сх)

2_

е

К

і

Предположим теперь,

что мы ищем решение и.Ст,і)еН S,-Ö,C,IS

Тогда для любой

функции

éC *ti) 6- Hs-z)~o,r,i,S~

существует

решение и оно имеет вид

ci -tci ±-t j —, J e

j ,

- 1'* Fite)

'*РЧ

* ~

z 2- Kl

0, Г-c’ö»

4-

■4

F i te )

/ <

- *

d z .

Kz- c>*

& г- к *

(Мы сохраняем обозначения § I ) .

Отсюда следует, что оператор

_

■+,__>*- . и

Hi-2-,t, '0/-Г/

f t *

г* '' • H S ' f t - o ,? ,* ,*

Фредгольмов,

эпиморфен.

и имеет

ядро

размерности

2.

Для того, чтобы устранить эту неоднозначность, мы зада­

дим в точке

сйг= - і — О

следующие граничные условия

д>го М

f - o

=

Ѵ

з ! о, 1

r t *

с т . 5)

ТС С О

'