Файл: Стернин, Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения в бесконечном цилиндре [учеб. пособие].pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 89

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

Так как каждая особая точка функции

D W О ' ? ) * , - * ;

!

является полисом конечного

порядка, то, в окрестности

каждой

 

точки, для принадлежности решения пространству

 

ol~ л

 

на функцию

f'C'Xi'k)

необходимо

наложить конечное

число уело

вий

вида (2 0 .5 ).

Теперь для

завершения

доказательства

достаточ­

 

но

заметить,

что

в каждой

полосе

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о і -

^ R t i * <* +

 

 

 

(2 1 .5 )

!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

имеется разве что конечное число полюсов функции

 

 

 

Следовательно, при конечном числе условий функция

ф “1 £ {& )

j

будет

аналитической

в полосе

(21 .5) и,

таким образом, топологн-j

чѳское

коядро оператора

Ъ € * / * & * ,

 

конечномерно.

!

 

Докажем теперь

априорную оценку.

Предположим,

что на п р я -j

мых

R t i -

tJL-

j Ä c -2 =

oL+

нет

полюсов функции

Ъ~'(2),

|

Тогда,

повторяя

рассуждения

теоремы I

гл .I

мы для любой функции

М Ш ) * Н 5|Г,ы+і«і_П0ЛУчин неравенства

 

 

 

 

11 Ч

S ,f,* +

t

cou rt

1

( і і й к і

 

«ц)

,

 

 

ilUl l £llf,*.

 

Г * 1*4 s.„,

где постоянные

^ и

не зависят от функции U.. \

Складывая эти неравенства и используя непрерывность оператора

3> в пространствах f-f s , (f/efy, , мы получаем, что

4 lU < r,*w - *

09

><ГI Ыч)^~

 

 

Из этого неравенства

следует замкнутость области значений

- 177 -

{

оператора

'p

,

а,

в силу

вышеизложенного, и конечномерность

алгебраического

коядра

 

оператора

,

а также

его мономорф-

ность.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 . Теорема об изоморфизме. В предыдущем пункте мы показа­

ли,

что

оператор

( И . 5) мономорфѳн и имеет конечномерное ядро.

В этом параграфе

мы сопоставим

оператору (1 4 .5 )

некоторый дру­

гой оператор (добавим некоторое (конечное) число пограничных

операторов), который уже будет изоморфизмом.

 

 

 

Итак,

рассмотрим уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S * ,

f t )

uC*fQ

-

# * , і ) .

 

C2*5)

 

В предыдущем параграфе

мы

выяснили,

что

для

разрешимости

уравнения

(2 .5 )

необходимо

и достаточно,

чтобы

 

 

 

 

 

 

 

,

і с Ы ) ) = - о ,

 

 

I ,

где

 

Ст,і),

 

 

 

 

некоторые функционалы над простран­

ством

Н

S'

 

<Г)cL + ,

-

•

 

 

 

 

 

 

Введем понятие пограничных операторов [1У] . Пусть

проиэвольная

точка

по

цилиндре

 

Q .

 

 

 

 

О п р е д е л е н и е

3 .5 .

Формальным

э л е м е н т а р'

н ы м

к о г р а н и ч н ы м

оператором, ассоциированным

с точкой

(рс®

 

}

называется

отображение

 

 

 

 

» С х ‘, Г )

| ‘0

’------- *

 

 

 

 

 

где

с £

(£

- произвольное

комплексное

число

и

&(*. - У®

{ -

t ° )

-

мера Дирака

 

в точке

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 178 -

 

 

 

 

 

П р е д л о ж е н и е 4 .5 . Пограничный оператор

сопрякен (в смысле теории распределений) к граничному оператору

с* Cxe/t cJ •

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в

о

очевидно

 

О f,с )

(-f,Sc).

 

П р е д л о ж е н и е

5

.5 .

Пусть S >

. Тогда

элементарный пограничный оператор определяет непрерывное отобра жение

 

 

(Г

 

 

 

If,

Поскольку■

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

оператор и его

сопряженный непрерывны

одновременно, то предложение 5 .5

следуеі

из предложений 1 .5

и 4 .5 .

 

 

 

 

 

j

 

Пусть

теперь

 

ЪСх, { ^ x . ,

 

- .............

диф­

ференциальный оператор. Тогда мы введем следующее^

 

 

О п р е д е л е н и е

5 .5 . О б щ и м

ф о р м а л ь ­

н ы м

к о г р а н и ч н ы м

оператором называется композиция

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

І

 

 

Сх I

^ * / 'J-t J *

е

)

 

 

(2 2 .5 ) ■

П р е д л о ж е н и е

6 .5

Пусть

"й

- формальный

диф- j

ференциальный оператор

порядка >н

с

гладким символом.

Тогда і

если

s >

rut

}

то

формальный

кограничный

оператор

(22.5)^

определяет

непрерывное

отображение

 

 

 

 

j

 

 

Ъ Л

:

С

 

 

$

t'f ■, оЦ,ol ~

[ С).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 179 -

I о s а э

а I е л

ь

с

в о

очевидно.

 

Пусть теперь

Ъ

 

 

 

С

-

дифференциальное

вырахениѳ порядка

гИ-

и

пусть

Ы

0/ ^ 0]

- произвольная точ»

ха на цилиндре

С

. Пусть

 

 

 

 

- система кограничных операторов, ассоциированных с точкой

О** ‘Р а ­

 

с п р е д е л е н и е

6 .5 Пограничную задачу

нахождения

"пары"

С и >а )

- ( ч ,

сі , . ->Сс) где

С

£

<С^

U f

H. S >

 

 

 

( с )

Для

 

 

 

 

 

 

 

мы

будем называть

к в а з и э л л и п т и ч н о й

рода<Г*

в

пространстве

И

S,

<+4, <£- ( ° J ,

если

 

 

 

 

 

С) )

Оператор

3

квазиэллиптичен

рода

/

в каждой

точке

О

,-О е С ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с о

 

 

 

^ - у Ь к ^

 

 

S- 1W+

^

 

;

 

 

сч‘0

^

-

векторы

 

(

3 *

S' }

и

.

€ .

 

 

не

ортогональны:

 

 

 

 

 

 

 

'

J"

>)

 

 

 

 

 

^

 

 

( ѣ к

 

е * ) ф о . '

 

 

 

Т е о р е м а

4 .5 .

Пусть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2 3 .5 )

 

 

Т )г{

+

2Г C icD * .? )- -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

180

-

 

 

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы