ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.10.2024
Просмотров: 89
Скачиваний: 0
Рассмотрим другой частный случай, когда давление на поверхности скачком возрастает до максимальной вели
чины [т. е. (т = 0 и рх (t) = |
0]. Тогда из (34) |
|
|
|
||||
|
г* {t) = |
a (s*)t, |
|
|
|
(49) |
||
из (32) |
получим уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d (fo*) |
— Pi (О, |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
—a* = p* = |
|
|
|
||
|
to* (t) = |
(t) dx\ |
|
|
(50) |
|||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
При диаграмме деформации, отвечающей выражениям |
||||||||
(44), волна разгрузки будет прямой линией: |
|
|
|
|||||
|
|
z* = a1t. |
|
|
|
|
(51) |
|
Если давление на поверхности задано выражением |
||||||||
(376), то из (50) и (51) найдем |
|
|
|
|
|
|||
|
|
(* + 1) tk = P* |
|
«2 |
|
■V - |
(52) |
|
|
|
|
(* + |
|
||||
При k = 1 и a 2 = |
рмакс/0, |
где 0 — время |
действия |
дав |
||||
ления на поверхности, будем иметь |
|
|
|
|
||||
|
Р * ( 2 ) = Р макс ( 1 - 0 |
, 5 |
|
|
|
(53) |
||
Максимальное давление составит |
90% |
рм&кс |
на глубине |
|||||
|
|
г' = |
0,20^. |
|
|
|
|
|
При давлении на поверхности в виде |
|
|
|
|
||||
|
Pi ( 0 = Рмакс ^ |
^ |
|
|
|
(54) |
||
аналогично получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р* (2) = |
Рпаьх ( |
1 - 0^ |
+ |
) |
- |
|
(55) |
откуда |
z' = 0,10^. |
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим теперь кратко разгрузку в среде с £ р ф оо (линия 2 на рис. 52). В этом случае расчетные формулы
в замкнутом |
виде удается получить значительно реже, |
чем при Е р = |
оо . |
150
Для общего случая поэтому широко используется гра фоаналитический метод характеристик [8, 66]. Если диаг рамма задана в виде схемы Прандтля и давление на по верхности принимает максимальное значение скачком, то скорость волны разгрузки (ар) постоянна и равна аг.
При падении |
давления по |
линейному |
закону р (t) = |
||||||
= |
Р |
---- - |
] |
максимальное |
давление, т. |
е. |
давление |
на |
|
|
|
0 |
I |
|
|
|
|
|
|
волне разгрузки, находится из выражения [54] |
|
||||||||
Р |
(2) — Рмакс |
0,5 2 / |
j __ af |
|
(56) |
||||
0 \ |
а\ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Для |
аналитического |
определения волны |
разгрузки |
в |
||||
в общем случае можно воспользоваться зависимостями, приведенными в 152]:
Z1 |
CL^x —• CL2t2 |
|
|
|
lCTi (г1- *0 + |
ст>(г2> Д)1 Д |
|
tei (г2. Д)1 - |
|
- ^ [ е ,( г г, Щ = |
( к - — ), |
(57) |
||
|
Ер |
\ |
аг J |
|
где ах (z, t) и A, [ex (г, ()] определяются |
по формулам |
(21) и |
||
(12); величины zx, t-y, г2, t2 являются координатами точек на волне разгрузки [гх = г* (tx), г2 = z* (t2)].
Если известна какая-либо точка волны разгрузки (гг, tx), то выражения (57) дают возможность определить дру гую точку волны разгрузки (z2, (2); по (z2, t2) также можно определить (z3, t3) и т. д. Поэтому вся волна разгрузки может быть определена решением системы (57), если из вестна некоторая ее начальная часть.
Используя выражения (57), можно доказать, что если принята диаграмма Прандтля и давление на поверхности изменяется согласно (37), то волна разгрузки будет прямой
линией: |
|
z* = av (t — tm). |
(58) |
С этой целью проверим, могут ли две произвольные точ ки (zx, (х) и (г2>^г) волны разгрузки лежать на одной прямой, т. е. удовлетворять уравнениям:
Д = д ,+ — ; |
tz = tm+ — • |
(59) |
ар |
ар |
|
151
Используя зависимости (21) и (12):
м * . o = ~ P i ( * —
\{el) = a0Es+ al (e1 — es) = ( | г —
E -
получим из (57) и (37) после преобразований уравнение для ар
Как видно, это уравнение не зависит от величин г и t, поэтому зависимости (59) справедливы при любых г и I, т. е. волна разгрузки — прямая линия. Учитывая это, для области разгрузки получим:
k
1 ( ' - У * = - Р м а к о +
° l2) (Z, |
0 — |
Рмакс |
\Z а 2 {t |
/„ j)]* - ^ |
|
|
+ f pSft[2+ a2 (t - t m)}k; |
|
|
||
Ы/ (2, f) |
CIq Es "Ь |
„ (Рмакс |
^2 Ol |
^2 |
^m)l* “b |
|
|
C1 |
|
|
|
+ a2Sj[z + a2( ( - g f ,
где
152
Из уравнения (60) следуют известные выражения [8]:
при |
, . |
«р = |
т f |
а \ « I ( « i + а г ) |
|
|
k = \ |
| / |
.------ т-------— • |
(6 1 ) |
|||
|
|
|
V |
оц а; + а 2 а{ |
|
|
при |
£ = 2 |
и аг= а2 |
a_ = аг 1 / |
—+ 3 — — |
(62) |
|
|
|
|
|
L И |
«1 |
|
В случае, когда диаграмма деформации а (е) произволь на и когда зависимости (37) представляют давления рх (t) и р2 (t) только вблизи tm, уравнение (60) позволяет опре делить начальную скорость волны разгрузки.
Пример 16. Диаграмму деформации принимаем в виде схемы Прандтля, причем а2/аj = 4. Закон изменения давления при 2 = 0
задаем в виде
80s
p (t)= 2 a s
" 02 V 2 ) '
где 0 — время действия нагрузки.
Таким образом,
8<js
Рмаке = + 20$; й = 2; otj = а 2— + ~гг'
и волна разгрузки — прямая линия. Скорость волны разгрузки определяем по формуле (62) ар = 0,359аа. В безразмерных величи
нах
получаем следующие выражения для волны разгрузки и напряже ний в области разгрузки:
т = 0,5 + 0,696|; — = — 2 + 0,737|2;
°s
^ ^ = - 2 + 0,577 [ s - 4 (т—0,5)]2— 0,077 Ц + 4 ( т - 0 ,5)]*.
Os
Эта задача решена в [52] более сложным графоанали тическим методом.
4. ОТРАЖЕНИЕ ВОЛН СЖАТИЯ ОТ НЕПОДВИЖНОЙ ПРЕГРАДЫ
Предположим, что в грунте на расстоянии z = Н от его поверхности находится неподвижная преграда, а на поверх ности задано давление р (t), монотонно возрастающее до максимальной величины дмакс и затем остающееся
153
постоянным (рис 58). Для |
диаграммы деформации |
среды |
|||||||
о = Ф (е) |
считаем выполненным условие (4). |
|
|
|
|||||
После подхода фронта простой прямой волны к преграде |
|||||||||
начнется |
процесс |
отражения. |
В |
результате |
плоскость |
||||
г — t окажется разделенной |
на |
ряд областей, показанных |
|||||||
на этом рисунке: |
|
1 — область неустановившейся |
деформа |
||||||
ции, распространение простых |
прямых волн; 3 — область |
||||||||
установившейся |
деформации с а = |
а т = —рыаК(. |
и соот |
||||||
ветствующей ет ; |
4 — область |
распространения |
|
простых |
|||||
обратных |
волн |
по установившейся |
деформации |
3\ |
5 — |
||||
Рис. 58. Распространение волн в среде при отра жении от неподвижной преграды
I—/// — характеристи ки; /—5 — области
область установившейся после отражения деформации
с сг = Стш и е°п, щ — 0; 2 — область развития отражения (фронт II — характеристика 2-го семейства по простой прямой волне). В области 2 все характеристики криволи нейны, и поэтому определение параметров волнового про цесса в этой области является наиболее трудным. В боль шинстве случаев такая задача решается только путем чис ленного интегрирования уравнения (5).
В то же время максимальные параметры сС и гт в отра женной волне на преграде могут быть легко найдены.
Действительно, в области I г2 = 0, и поэтому из (14) следует /у = —2X (е). На характеристике III тогда будет
|
Л,П) — — 2А.(ет ). |
(63) |
Так |
как при z = Н щ = 0, то в области 2 из (10) имеем |
|
/у = |
—X (еот), где еот — деформация |
на преграде в точке |
(Н, i), из которой выходит соответствующая характеристи ка семейства С+. Тогда на характеристике III г[,и1 =
== —X (8т), и сравнение с (63) дает следующее уравнение
154
для |
определения максимальной деформации |
отражения |
на |
преграде |
|
|
^ (е,н) = 2А. (ет ). |
(64) |
Очевидно, что a°J — Ф (е^ )■
' Эффект отражения обычно характеризуется коэффици ентами отражения для напряжения /гн и деформации /гд, равными:
пп = |
— |
(65) |
От |
w> |
|
Для линейно-упругой среды (а = |
Ев) |
из (64) |
«н = " д = 2- |
|
(66) |
. Рассмотрим среду с диаграммой деформации в виде (44). Очевидно, что:
7Де)=а0е при |
| а | < | а 8|; |
Ц ) = а 0е4+ а 1( е - б 8) |
при | а | > | а 8|. |
Тогда из уравнения (64) получим:
а) при. |
< |
I стт I < |
I CTsI |
|
|
|
|
|
ОТ |
2^0 |
|
/ |
|
|
|
6/71 |
ет |
|
|
|
1 |
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
“1 |
|
' |
|
|
|
|
/гд |
_ 2ор_/ -о — I s) |
|
= |
|||
|
|
°i |
V 1 |
/ |
|
6т |
|
|
|
2£о_/_£о___ Л_Оз. |
|||||
|
|
ai |
V «1 |
/ О т ’ |
|||
|
ОТ |
2 % |
1 |
|
|
|
|
СГ//1 — — От |
+ |
|
|
|
|
||
|
|
«0 |
|
V |
«0 |
/ |
|
|
|
^ + ( 1 |
° i N\ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Ор |
\ |
а 0 |
)' |
О т |
|
> |
| cts | |
|
|
|
|
|
|
|
ОТ |
|
«о______ |
01 е |
|||
|
6//I — = 2 ет |
+ |
^ |
|
|||
|
|
|
|
«1 |
|
||
(68)
(69)
155