Файл: Пакулов, Н. И. Мажоритарный принцип построения надежных узлов и устройств ЦВМ.pdf

Подставляя значения X), и р* в формулу (3.6), получим

где С'*+& — число сочетании из h + в элементов по X.

Определим вероятность безотказной работы трехканальной ма­ жоритарной системы с восстановлением. В этом случае

Л , = Р '7 ( Х + р ) '7,

где PiI — вероятность того, что в системе все каналы исправны;

Pi = 3Xp2/(X+P)-\

где Р1— вероятность того, что в системе один канал неисправен. Тогда вероятность безотказной работы трехканальной мажоритарной системы с восстановлением в стационарном режиме можно опреде­ лить из соотношения

/2=0

Аналогично определяются вероятности безотказной работы ПЯТИ- И семикааальной мажоритарных систем с восстановлением:

к---о

(3.116)

2. Система состоит из h рабочих и t)1 резервных каналов. Число ремонтных бригад Г='1. .В данном случае Хк='(h+i>—k)X, pft= p. Подставляя значения X/, и р* в (3.6), получим следующую фор­ мулу:

Ё (1Д!)(рЛ)‘

о

Отсюда легко определить вероятность безотказной работы трехканалыюй мажоритарной системы:

_________ 7 , (р/Х)2 + У, (р/Х)3

(3.13)

■ i + t ^ l + 'M f t^ + V.WA)'

3. Система имеет h рабочих и й резервных каналов, число ре­ монтных единиц и количество ЗИПа неограннчено. В этом случае

Кк= (/|-И>)Л, pi, = /sp, поэтому

Вероятность безотказной работы трехканальной мажоритарной си­ стемы в стационарном режиме можно определить из соотношения

153

Пример. Определим вероятность безотказной работы КУ ЦВМ

=0,999; в) вероятность безотказной работы КУ при мажоритарном

способе резервирования с восстановлением, согласно (3.11) Рз~=

= 1— ю-9.

Таким образом, вероятность безотказной работы трех­ канальной мажоритарной системы с восстановлением, рассмотренной в § 3.1, отвечает заданным требованиям

(см. гл. 2).

Согласно соотношению (3.11) при известном пара­ метре А можно определить требуемое значение парамет­ ра р для обеспечения заданной вероятности безотказной работы МСК (Ямск). Результаты такого расчета сведе­ ны в табл. 3.1. Возможность нахождения р по заданной

Т а б л и ц а 3.1

вероятности Р и известному параметру а позволяет уже на этапе проектирования составить подобные таблицы для широкой области значений Р, X и сформулировать требование к интенсивности восстановления каждого канала в отдельности и МСК в целом. Можно легко решить и обратную задачу — предъявить к каждому ка­ налу требования по надежности и количеству оборудо­ вания, для чего по известным величинам Я и ц необхо­ димо найти параметр X одного канала. Затем, зная ин­ тенсивность отказов одного элемента Xi, определить до­ пустимое число элементов N в каждом канале, необхо­ димое для обеспечения заданной вероятности безотказ­ ной работь) МСК при цзвестной величине р.

159

Проведенный анализ мажоритарного способа резер­ вирования с восстановлением показывает, что вероят­ ность безотказной работы мажоритарных систем сущест­ венно зависит от числа резервных каналов и количества ремонтных бригад, но совершенно не отражает зависи­ мости ее от квалификации обслуживающего персонала, влияющего на среднее время восстановления системы, и ряда других факторов, которые при большом количе­ стве состояний системы очень трудно учесть. Поэтому в дальнейшем будем оперировать понятием коэффици­ ента готовности, определение которого с помощью аппа­ рата полумарковских процессов позволяет более полно учесть многие факторы, влияющие на эксплуатационные свойства системы.

3.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ГОТОВНОСТИ МНОГОКАНАЛЬНОЙ МАЖОРИТАРНОЙ СИСТЕМЫ

В предыдущих параграфах была проанализирована вероятность безотказной работы мажоритарных систем без восстановления и с восстановлением. Ниже опреде­ ляются такие характеристики мажоритарных систем, как средняя наработка до первого отказа, наработка на от­ каз, среднее время восстановления и коэффициент готов­ ности.

ММС с одним восстанавливающим органом

Построим математическую модель ММС, на основа­ нии исследования которой определим коэффициент го­ товности системы. При составлении модели функциони­ рования ММС примем следующие допущения.

1.Распределение отказов подчиняется экспоненциаль­ ному закону и времена восстановлений (обнаружение и ремонт отказавших каналов и восстанавливающего органа) являются случайными величинами также с экс­ поненциальным законом распределения.

2.Интенсивности отказов %всех каналов одинаковы,

аотказы каналов независимы.

При данных допущениях функционирование ММС с одним восстанавливающим органом (рис. 3.1) можно описать полумарковским процессом [48, 49] с восемью состояниями, граф переходов которого представлен на рис. 3.4. Здесь возможны следующие срстрянця .сцстемм:

160

1) исправив! три кайала й восстанавливающий opraii (ВО);

2)исправны два канала и ВО, один канал восста­ навливается;

3)исправны три канала; ВО восстанавливается с ин­

тенсивностью восстановления рь 4) исправны два канала; ВО и один из каналов вос­

станавливаются; б) исправен один канал и ВО, два других канала

неисправны, один из каналов восстанавливается с ин­ тенсивностью р;

6) исправен один канал, два других канала и ВО неисправны, один из каналов и ВО восстанавливаются;

7)исправен ВО, все три канала неисправны, один из каналов восстанавливается;

8)неисправны три канала и ВО, один из каналов и ВО восстанавливаются.

Рассматриваемый полумарковский процесс содержит эргодическую марковскую цепь, так как все состояния процесса являются сообщающимися. Составим матрицу

Рис. 3.4. Граф переходов трехканалыюй мажоритарной си­ стемы с одним восстанавли­ вающим органом.

вероятностей переходов Рм данного процесса. Матрица вероятностей перехода определяется из следующих со­ ображений [49]. Если в t-м состоянии процесс находит­ ся в течение случайного времени имеющего показа­ тельное распределение с параметром А,-, равным сумме интенсивностей переходов во все соседние состояния, то функция распределения безусловного времени пребы­ вания процесса в i-м состоянии определится следующим образом:

а среднее значение времени пребыванияпроцесса в i-u состоянии

00

(3.17)

О

161

При известных интенсивностях переходов kij вероят­ ность перехода процесса за один шаг из состояния i в состояние / определяется из следующего выражения:

Рц —'Kijflti*

Матрица вероятностей переходов Рм в данном случае имеет следующий вид:

Множество возможных состояний мажоритарной си­ стемы Rc={i} разбиваем на два подмножества Ri и R2 так, что /?(,= ./?! (J R2. Подмножество /?1={1, 2} включает в себя состояния нормального функционирования,, при которых число исправных каналов не менее двух и ис­ правен ВО, а подмножество /?2= {3, 4, ..., 8} — состояния «ненормального» функционирования {<иотказовые» состо­ яния системы). На рис. 3.4 отказовые состояния обозна­

162

где I — единичная матрица; Ры{Ra)— матрица Рм с вы­

черкнутыми столбцами и строками, номера которых со­ ответствуют отказовым состояниям (/, /еТ?2), определим среднее время до первого отказа ММС. При начальном состоянии системы ( = 1 (исправны три канала и ВО) среднее время до первого отказа Т\, т. е. до первого попадания в подмножество R2, будет равно

где Ч),г — i-й элемент первой строки матрицы АД. Эле­ менты «1,, матрицы NMопределяют среднее число попа­ даний процесса в состояние г из начального состояния «1» до поглощения в подмножестве состояний R2.

Матрица (I—Рм(1, 2))~* имеет вид

= 773,67 ч. При ц=Ц1=0время 7’, = 78ч. Таким образом, при выбран­ ных исходных данных для восстанавливаемой мажоритарной системы

163