Файл: Козобков, А. А. Электрическое моделирование вибраций трубопроводов.pdf

E l d*X

Ho dx‘l

полагая, что E J ( x ) = E / =const, |а0(д:)= ч0—const, т. e., что тру­ бопровод однороден.

Уравнение (ПО) распадается на два самостоятельных урав­ нения

(111)

( 112)

Для определения собственных частот трубопровода, описы­ ваемого уравнением (23), из уравнений (111) и (112) нас будет интересовать лишь уравнение (112) для одной s-той собственной формы.

Очевидно, что если уравнению (112) будет удовлетворять ре­ шение Xs, то ему будет удовлетворять и решение уравнения

EJ

:(п з)

Учитывая уравнения (65), (66) и (113), обозначим началь­ ные значения производных или значения производных в сечении

х=0:

Учитывая начальные значения производных, найдем реше­ ние уравнения (113) в виде системы линейных гиперболо-три­ гонометрических уравнений

48

где Тх, Vx, Ux — известные функции Крылова:

Л‘

Полученная система уравнений (114)—(117) и соотношения (118)—(122) позволяют определить значение s-той собственной частоты однородной трубы, которую необходимо знать, чтобы определить частотную погрешность моделирования.

Для нахождения спектра собственных частот трубы со5 необ­ ходимо знать граничные условия. Пусть закрепления будут шар­ нирными, т. е.

МД0)=Л45(/)=0; z/s(0 )= ys(Z)=0,

где Msl и ys(l)—момент и перемещение для s-той собственной формы на конце трубы длиной I. Подставляя выражения для граничных условий в соотношение (114) и (116), после некото­ рых преобразований получим выражение для спектра собствен­ ных частот

Раскрывая это выражение для Тх и Vx по формулам (119) и (121), получим выражение для спектра собственных частот участка трубопровода длиной I с шарнирным закреплением

еще найти значения s собственных частот a Ms системы, описы­

ваемой уравнением (52). Для этого потребуется определение s первых собственных частот системы, описываемой п—1 диффе­ ренциальными уравнениями вида

49

ляется возможным, поэтому воспользуемся несколько иным ме­ тодом нахождения собственных частот системы, описываемой уравнением вида (52).

Предположим, что s-тая собственная форма системы, описы­ ваемой уравнением (52), совпадает с s-той известной формой системы, описываемой уравнением (23), что возможно при до­ статочно большом числе разбиений п. Тогда по известной собст­ венной форме найдем частоту <mms для этой формы. Найдем вы­ ражение для s-той собственной формы. Для этого подставим выражения для шарнирных граничных условий в систему урав­ нений (II4) —(117). После преобразований получим

50

Как известно из теории дифференциальных уравнений, зна­ чения собственных частот системы, описываемой уравнениями вида (128), удовлетворяют следующему выражению:

------- —------- 3. (129) ki

(л0Д x'l sin — т

п

Подставляя уравнения (129) и (123) в выражение (107) для частотной погрешности, после неко торых преобразований получим

2

(130) 0,4

/

51

(4—6 ) разбиений на одну полуволну ошибка моделирования по спектру собственных частот для первого приближения не превы­ сит 8 —2%. Увеличение точности моделирования при использова­ нии звеньев (см. рис. 1 2 ) может быть достигнуто при помощи уве­ личения их числа. Теперь мы можем получить аналитическое вы­ ражение, которое ' связывает число разбиений (или число звеньев) на половину длины волны в функции заданной погреш­ ности. Для этого решим биквадратное уравнение (130)

q = b V

волн, следовательно, число разбиений п, исходя из выражения (131), составит

где 8 Ш ^ 1 — частотная погрешность на частоте гым.

Если в трубопроводной системе имеется несколько участков разной длины, то число разбиений по формуле (132) выбирается по самому короткому участку, так как спектр собственных ча­ стот более длинных участков ниже, чем у короткого, следова­ тельно, частотная погрешность моделирования других участков при той же длине участка разбиения будет заведомо ниже.

Получение выражений, аналогичных выражению (132), для электрических моделей поперечных колебаний трубы второго и третьего приближений представляется довольно сложным. Однако анализ кривых (см. рис. 23) и экспериментальные иссле­ дования показывают, что при заданной погрешности моделиро­ вания по частоте число звеньев второго приближения оказы­ вается на 25% меньше, а число звеньев третьего приближения в два раза меньше числа звеньев первого приближения.

§ 5. СРАВНЕНИЯ ЗВЕНЬЕВ ТРЕХ ПОРЯДКОВ ПРИБЛИЖЕНИЯ

Сравним модели всех трех порядков приближения при одном и том же числе моделирующих звеньев. Критерием для оценки эффективности звеньев послужит частотная погрешность модели­

52