Файл: Козобков, А. А. Электрическое моделирование вибраций трубопроводов.pdf

лагая, что возмущение R(x, t), действующее на трубопровод, установившееся и периодическое, можно записать

п— число гармонических составляющих, существенных для исследуемого колебательного процесса;

г— номер гармонической составляющей;

Rr — амплитуда гармонической составляющей.

Аргументом функций, входящих в уравнения системы (55) — (58), послужит произведение /соэтг, где соэ—основная частота ко­

Соотношения (97) и (98) определяют подобие между процес­ сом изгиба трубопровода п процессом в его электрической мо­ дели н количественное соотношение между величинами, входя­ щими в уравнения (55) — (58) и (87) — (90).

Соотношения (97) и (99) могут быть также записаны в виде безразмерных комбинаций размерных величин, т. е. в виде кри­ териев подобия.

Согласно я-теореме число безразмерных критериев подобия равно числу существенных для процесса величии за вычетом самостоятельных размерностей и числа групп одноразмерных величин. В рассматриваемом случае число существенных для

процесса величин равно девяти: /, р0, EJ, у, 0, А1, со, t, Q;

— число самостоятельных размерностей равно трем: м, кг, с;

9—(3 + 1) =5.

Раскрывая значения масштабных коэффициентов в выраже­ ниях (97) и (99), получим критерии подобия для модели первого

42

В выражениях (100)—(104) верхний индекс «I» обозначает номер порядка приближения, г0 , 5 — ток в верхней обмотке транс­

форматора модели.

Аналогичным образом'критерии подобия могут быть полу­ чены для электрических моделей колебаний прямой трубы вто­ рого и третьего приближений:

— для модели второго приближения

n'l' = П{; n j ^ l l j ; ltf = I& ТТ\' = П\; 1 ^ = 1^;

— для модели третьего приближения

1Г;П=П !; ni" = nj; Tl'3" = Л31- п Г = П^; п£" = 1&

Таким образом, мы получили основные условия, которые по­ зволяют получить количественное соответствие между величи­ нами, определяющими колебательные процессы, происходящие при изгибе трубы, и процессы в ее модели.

§3. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ

ВМОДЕЛИ ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Уравнение (23), положенное в основу моделирования изгибиых колебаний трубопровода, записано без учета граничных условий. Однако подобие между колебательными процессами

в трубопроводной системе модели будет полным, если граничные условия в электрической модели будут соответствовать гранич­ ным условиям в трубопроводе.

В трубопроводных системах граничные условия могут быть различными на разных участках трубопровода: от свободного до защемленного конца. Ниже приведено несколько примеров осу­ ществления граничных условий в реальной трубопроводной

43

системе: свободный конец показан на рис. 16 прямоугольником^ угловая податливость (вход в тонкостенный аппарат) показана на рис. 17 прямоугольником; жесткое закрепление трубопровода (рис. 18); шарнирное крепление трубопровода (рис. 19) и т. д.

Электрическое моделирование граничных условий изгибных колебании можно производить по следующей схеме: граничное условие-*■его аналитическое описание в механике-»-аналитиче­ ское описание в электрической моделиэлектрическая схема модели.

У(о) 8(о,

Покажем иа примере осуществление соответствия граничных условий в трубопроводе и его модели.

Пусть моделируется труба, левый конец которой защемлен (рис. 20). Тогда для крайнего левого сечения трубы справед­ ливы следующие соотношения:

Для построения модели разобьем моделируемую трубу на равные участки длиной Дх. Очевидно, что это можно сделать двумя способами (рис. 21, а и рис. 22, а ). В первом случае (см. рис. 21, а) начало трубы совмещается с серединой первого уча­ стка разбиения. Тогда для левого конца трубы можно записать

0 (0) = 00.6.‘ Q(0) = Qo,5-

Учитывая принятую систему соответствий, перепишем одно из соотношений, входящих в соотношения (105)

что осуществляется заземлением нижнего полюса модели (см.

рис. 21,6).

Так как длина участка от места заземления до первой точки разбиения составляет Дх/2, то коэффициент трансформации крайнего звена модели трубы должен составить fei/2, что и обес­ печивается заземлением средней точки верхней обмотки транс­ форматора первого звена модели (см. рис. 21,6). При этом осу­ ществляются условия

^о,5= 0 1 :'о,5 6,

44

что по принятой системе соответствий означает

Выражение (106) совпадает с граничными условиями (105), следовательно, моделирование осуществляется верно.

Рис. 21. Схема моделирования жесткого гра­ ничного условия с совмещением границы за­ щемления с серединой участка разбиения:

й—схема разбиения; б—электрическая схема модели

Во втором случае (см. рис. 22, а) начало трубы совмещено с началом первого участка разбиения и граничные условия осу­ ществляются следующим образом: верхний полюс модели зазем-

Рис. 22. Схема моделирования жесткого гра­ ничного условия с совмещением границы за­ щемления с концом участка разбиения:

а—схема разбиения; б—электрическая схема модели

45

Т а б л и ц а 2

лен (см. рис. 22, б), чему соответствуют условия

uo = 0; iо,5=^0

или в механических величинах

Q (0) =7^=0; у (0) =0.

Заземление нижнего полюса модели определяет условия

?о=°; h

или в механических величинах

0(0) =0; М (0) =£0.

Моделирование правого конца трубы может быть также осу­ ществлено двумя способами. Однако при этом необходимо,

46

чтобы выполнялись следующие условия: если полная масса

трубы гсЛхро, полная изгибная податливость п - ^ - , полная длина

EJ

трубы пАх, то полная емкость модели должна составить пСи ее полная индуктивность должна составить nLt и отношение сум­ марного числа витков верхних обмоток трансформаторов к сум­ марному числу витков нижних обмоток трансформатора должно составить /г,.

Аналогичным образом можно получить электрические схемы других граничных условий. Схемы наиболее часто встречаю­ щихся граничных условий, их аналитические описания и элект­ рические схемы моделей приведены в табл. 2.

§ 4. ВЫБОР ЧИСЛА МОДЕЛИРУЮЩИХ ЗВЕНЬЕВ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Выше были получены условия, которые определяют количест­ венное соответствие между приближениями уравнения (23), опи­ сывающими изгибные колебания трубопровода, и электрической моделью этих приближений. Были также сформулированы пра­ вила осуществления граничных условий в электрической модели. Для построения электрической модели нзгнбных колебаний тру­ бопровода необходимо еще определить число моделирующих звеньев или, что то же самое, число разбиений. Для определения необходимого числа разбиений зададимся методической погреш­

где coMS — собственная s-тая частота системы, описываемой при­

где Xs — s-тая собственная форма. Тогда общее решение урав­ нения (23) найдем в виде

у = % у*

.i=i

Подставив решение (108) в уравнение (23), после разделе­ ния переменных получим

47