Файл: Козобков, А. А. Электрическое моделирование вибраций трубопроводов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 24.10.2024

Просмотров: 105

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Выше мы предполагали, что трение, сосредоточенное в опоре, пропорционально первой степени угловой скорости. Это предпо­ ложение справедливо в тех случаях, когда ширина опоры доста­ точно велика. В том случае, когда ширина опоры незначительна, и в опоре наблюдается проскальзывание, определяющим будет трение, вызываемое продольными колебаниями трубопровода. Рассмотрим это трение, определим, как оно отражается на попе-

0 —

4 ,5 Ом 4,50 м 4 ,5 0 м .— 0

В)

Рис. 31. Схема модели трубопровода с трением:

а—трение сосредоточено; б—трение распределено

речных колебаниях трубопровода и сравним его с распределен­ ным трением.

Пусть трубопровод закреплен как показано на рис. 32. В опо­ рах возникает сила трения /чр, которая вызовет дополнитель­ ную нагрузку на трубопровод дтр. Уравнение свободных колеба­ ний можно записать в виде

h>

й - у

£ У 0

+ ,„ = О .

(153)

 

d t °-

Найдем нагрузку <7 тр, предполагая силу трения в виде

•ЕтР = аД,

(154)

где а — коэффициент трения, А — скорость относительного удли­ нения трубопровода.

' Тр

4 -

э-

щг,

Рис. 32. К расчету декремента колебаний

Величина А может быть вычислена как

 

 

 

й 5

|/^ +U9 d x ~ i

 

 

 

д = -

д

I

(155)

 

 

 

d t

 

Если

д у

“С 1>

что допустимо в рассматриваемом случае,

 

то рыражеиие Ц55). можно переписать в виде

66

 

д

i

(156)

д

dx .

dt

 

 

 

Тогда, учитывая соотношение (156), можно записать выражение для qтр:

?-гр

д2у

_ д _

 

 

 

(157)

дх2

dt

 

 

 

 

 

 

 

Подставим выражение

(157)

для силы

qTp в

уравнение

(153)

и получим уравнение

для

свободных

колебаний трубопровода

в окончательном виде

 

 

 

 

 

 

<9x4 1 дх2

— —

Г ( - ^ - )2dx-\-\>-0^ - = 0 .

(158)

d t

2

J \ d x }

1 0

dt*

 

Запишем граничные условия в следующей форме:

0( О ) =

£ ( / ) = О ;

 

 

=

0 .

= 0 .

 

(159)

 

 

 

 

0ЛГ2 .Г-О

дх2\х=1

 

 

Решение уравнения

(159)

будем,

как и ранее, искать в форме,

предложенной Фурье

 

 

со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У =

У s i

 

 

 

 

где ys=Xs(x)Ts(t).

 

 

 

j=i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Считая нелинейность в уравнении

(158)

слабой и не влияю­

щей на собственные значения уравнения

(158)

с граничными

условиями (159), придем к решению уравнения

(126),,

которое

для первой моды запишем как

 

 

 

 

_ .

 

y = T(t) sinkx.

 

 

 

(160)

Подставим решение (160)

в уравнение (158), получим1

 

 

 

I

 

 

 

 

 

- = 0.

(161)

Р Е У Т - Р - ^ - Т

j

-^-(Г cos k x f dx-\- y-0f

Выполним в уравнении (161)

квадратуру

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

(162)

— (Т cos k x f d x = — T%—

— sin 2kx

dt v

'

 

 

dt

2

1

2k

 

 

Подставляя пределы

интегрирования в выражение

(162) и,

учитывая, что sin 2 £ /= 0 , получим

 

 

 

 

 

3*

67

 

l

 

 

 

Г — (T cos k x f dx = — 2TT.

(163)

 

.) dt

2

 

 

0

 

 

Подставим значение интеграла (163) в уравнение (161)

 

 

k^EJT — Id -Щ- ТгТ -|- \>-0Т = 0

(164)

д

akU

№Е1

 

и обозначим

а —----- ;

г = ------- .

 

 

2fj<)

Ди

 

Тогда уравнение для определения Т (t) будет иметь вид

 

 

f + аТ*Г + И1Т = 0.

(165)

Решение нелинейного уравнения (165) будем искать в виде

 

 

Г =

А sin [o(t)\ е - Е<'\

 

где А — начальная амплитуда.

 

Подставим это решение в уравнение (165)

 

— (ср) 2

А е_Е sin cp-j-cpA е_Е cos ср — 2гееА е_Е cos ср —

 

—А е_Е [—( е )2 -(- е]sin tр -f-а.А3 е~ЗЕср sin2 ср cos ср —

—аА3г е—3еsin3 со— А е—Е[—s2-)- s] sin ср -j- £2А е_Е sin ср = 0.

(166)

В уравнении (166), как и раньше,предполагая

siп3 ср; — sines;

cos^cp^ — cos ср,

4

4

т. е. пренебрегая высшими гармониками процесса, сгруппируем члены с одноименными тригонометрическими функциями

(?)2 — яА2 ее_2 Е-\-Ь2 — (s) 2 + ej sin cp-J—

 

-f j^cp—2ecs-1—^-aA2e-2Ecpj coscp= 0.

(167)

Приравнивая выражения в квадратных скобках в уравнении

(167)нулю, получим два уравнения для определения функций

Фи е

— (ер)2 — - i- a А2 е -2б£ + & 2 — (е) 2 + Е= 0;

(168)

. tp'_2Ecp + i a A 2 e -2 EcP= 0 .

(169)

68

Предположив затухание слабым, т. е. пренебрегая (е) 2

и е в урав­

нении (168), получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_ (ср) 2

---—а Л2 e -2Es-f Ь -= О,

 

(170)

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

аА^е—2s

 

)=

 

, ,

/

Г .

1

Л2

2

■ь 1

I

 

 

о 1

 

1

------

а ----

- е .

8

b2

)■

 

 

У

 

 

4

62

 

Ограничиваясь нулевым приближением

в

определении частоты

колебаний, т. е. считая, что ср = 6 ,

 

 

 

 

 

получим

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

___

<?= f bdt=wa0t-]r <o0,

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

где о)МО"

\

f

kAE-~ ; tp0

—начальная фаза

колебаний.

 

 

I

 

 

но

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставим нулевое приближение для ф в уравнение (169):

 

 

 

 

 

 

_ 2 =6 + — Л2 е -2^ = 0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

4

 

 

 

 

 

откуда е =

 

1

 

 

 

е~-26.

 

 

 

 

 

 

1171)

 

— аЛ2

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

решим, разделяя переменные

 

 

Уравнение (171)

 

 

откуда Ле~Е

\ / ~ at + Л2

Следовательно,

Т = A sin («м0^ + 9 с

V a t + #

Подберем такую функцию Ле~6(, чтобы функция

V

отличалась от нее на небольшую величину для любого значения t. Для этого запишем

 

Ле—5/.

4

 

 

 

a t+ A2

 

ИЛИ

л— 5/— .

1

(172)

 

1 f

«Л2

 

 

 

V

1 + — '

 

69

Смотрите также файлы