Файл: Козобков, А. А. Электрическое моделирование вибраций трубопроводов.pdf

* (0 )= Х (/)= 0 , Л" (0) = * "(/) =0

является:

Подставим решение (18) в нелинейный член уравнения (16)

-ш 2(ц + |х0) * = 0.

В полученном уравнении выполним квадратуру. После преобра­ зований получим

Первой модой уравнения (19) по-прежнему является

У = У,пах Sin — х

Подставим ее выражение в уравнение (19), получим

откуда первая собственная частота изгибных колебаний трубо­ провода составит

В выражении (20) в круглых скобках стоят члены, опреде­ ляющие влияние скоростного напора, внутреннего давления и продольной силы от реакции опор на колебания трубопровода. Численная оценка влияния названных факторов на первую соб­ ственную частоту изгибных колебаний трубопровода показывает, что для широкого диапазона давлений и скоростей погрешность составит не более 1—3%, что является вполне удовлетвори­ тельным.

* Подробное решение будет приведено ниже

14

Для s-той собственной частоты выражение (20) будет иметь вид

откуда видно, что для частот, более высоких, чем первая, по­ грешность окажется еще мень­ ше. Учитывая это обстоятель­ ство, запишем уравнение сво­ бодных колебаний трубопрово­ да в окончательном виде

На элемент трубопровода dx действуют моменты кручения:

Уравнение динамического равновесия элемента имеет вид:

где G — модуль сдвига,

J Q= J Q(x) — полярный момент инерции.

15

Таким образом, в общем случае колебания трубопровода описываются двумя уравнениями

где [Хо —( .1 + р,о.

Уравнение (23), описывающее изгибные колебания трубопро­ вода, было записано в предположении, что длина колеблюще­ гося трубопровода неизменна.

Конструкция трубопроводных систем обычно такова, что отдельные их участки имеют нелинейные граничные условия (например, проскальзывание в хомутах). Следовательно, строго говоря, длина отрезков трубопровода непостоянна, а сам трубо­ провод является нелинейной системой. Однако виброперемеще­ ния трубопровода, которые составляют доли миллиметра, вызы­ вают столь незначительные изменения длин участков трубопро­ вода, что этими изменениями можно пренебречь. Влияние проскальзывания на рассеивание энергии в системе будет рас­ смотрено ниже.

Перечислим основные допущения, принятые исходными для расчета уравнения трубопроводной системы:

1)уравнения изгибных и крутильных колебаний однородного участка независимы друг от друга;

2)трубопровод заменен стержнем с эквивалентной жест­ костью при отношении его длины к диаметру больше восьми;

3)продольные силы и колебания не влияют на общую кар­ тину колебаний;

4)виброперемещения трубопровода малы по сравнению с его длиной;

5)нелинейные граничные условия заменены линейными;

6) влияние внутреннего давления и температуры несущест­ венно.

§ 2. ТРЕБОВАНИЯ К СРЕДСТВАМ РАСЧЕТА

Аналитическое решение системы дифференциальных уравне­ ний, описывающих исследуемые трубопроводы, при помощи из­ вестных аналитических методов в большинстве случаев оказы­ вается затруднительным из-за необычайной сложности этих тру­ бопроводов, большого числа источников возмущающих воздей­ ствий и т. д.

Сложность трубопроводных систем заключается в том, что они имеют пространственный характер. Кроме того, возмущаю­ щие воздействия являются сложными периодическими функ­ циями, имеющими широкий спектр частот.

16

Очевидно, что для получения полной картины колебаний

•исследуемого объекта необходимо найти пространственные ■формы колебаний трубопроводной системы по каждой из гармо­ нических составляющих возмущающего воздействия, а затем, суммируя их, получить полную пространственную картину коле­ бании.

Если учесть многообразие трубопроводных систем, типов нагнетательных установок, а также их режимов работы, то ана­ литический расчет таких систем превращается в чрезвычайно трудоемкую задачу, осуществление которой оказывается мало­ реальным и на практике не применяется. Сложность и трудоем­ кость аналитического расчета колебательных процессов трубо­ проводов заключается в необходимости проведения большого количества вычислений для получения конечных данных с точ­ ностью, приемлемой для инженерных расчетов. Проведение по­ добных расчетов потребовало бы привлечения труда математи- ков-вычислителей и больших затрат времени для расчета. В то же время использование вычислительных средств позволило бы значительно сократить время расчета колебательных процессов и найти средства по уменьшению вибрации трубопроводов.

Не разбирая отдельных доводов в пользу тех или иных вы­ числительных устройств, сформулируем основные требования, которым они должны удовлетворять при использовании их для расчета колебаний пространственной трубопроводной системы.

1.Возможность изучения режимов работы трубопровода лю­ бой возможной в практических условиях конфигурации при лю­ бых возможных эксплуатационных условиях.

2.Возможность определения с заданной точностью:

а) спектра частот; б) форм колебаний; в) амплитуды пере­ мещений, сил и моментов.

3. Простота обработки начальных данных, т. е. простота при­ ведения их к виду, удобному для ввода в расчетное устройство, для составления программы или структурной схемы.

4. Простота обслуживания расчетного устройства, т. е.:

а) возможность рассчитывать различные объекты без суще­ ственной перестройки устройства (программы, структурной схемы);

б) возможность обслуживания расчетного устройства неболь­ шим персоналом, не имеющим специальной квалификации.

5.Возможность рассчитывать режимы работы трубопроводов совместно с различными виброгасителями.

6.Простота приведения результатов расчета к виду, удоб­ ному для использования их инженером-механиком.

7.Небольшие затраты на эксплуатацию и быстрая окупае­

§ 3. КРАТКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА СРЕДСТВ РАСЧЕТА

Для расчета динамики трубопроводных систем могут быть, использованы следующие вычислительные средства:

—физическая модель,

—операционная или структурная модель,

—электронно-вычислительная цифровая машина,

—электрическая цепочечная модель.

Рассмотрим достоинства и недостатки каждого из этих: средств с точки зрения требований, предъявляемых к методу расчета.

Физическая модель

Физическое моделирование заключается в создании увели­ ченной или уменьшенной модели объекта с сохранением геомет­ рических соотношений и тех физических параметров натуры,, влияние которых на исследуемые процессы существенно. В физи­ ческой модели трубопроводной системы требуется сохранение подобия в свойствах материала, в граничных условиях и пр., так как объектом исследования являются такие свойства системы, как спектр частот, форма колебаний, усилия и т. д. Физическая, модель, несмотря на ее очевидную наглядность, имеет также:

дели и натуры.

Кроме того, специфика трубопроводных систем такова, что возмущающее воздействие представляет собой функцию двух переменных: времени и координаты. Поэтому физической модели трубопроводной системы необходимо сообщать возмущение в многочисленных точках по длине трубопровода, что, очевидно, представляет значительную трудность.

Применение физического моделирования для расчета дина­ мики пространственных трубопроводных систем целесообразно при проведении контрольных экспериментов на простейших тру­ бопроводных системах, проверяющих правомерность допущений,, положенных в основу расчета.

Структурная модель

Как известно структурное или операционное моделирование заключается в почленном интегрировании (или дифференциро­ вании) дифференциального уравнения или системы уравнений1 с последующим суммированием полученных решений. При этом

18