Файл: Козобков, А. А. Электрическое моделирование вибраций трубопроводов.pdf

yu\ 0ft; Мк\ Qk — соответственно перемещение, угол поворота се­ чения, изгибающий момент, поперечная сила в /г-том сечении.

Моделируемый стержень длиной I разбивался на некоторое число участков п, каждый из которых заменялся электрическим восьмиполюсником. И. М. Тетельбаумом были предложены две схемы, моделирующие систему уравнений (25) — (28).

Рис. 8. Схема звена электрической модели изгибных колебаний стержня И. М. Тетельбаума:

о—по первой системе аналогий; б—по второй системе аналогий

По первой системе электромеханических аналогий, где скоро­ сти соответствует ток, а силе — напряжение, система уравнений (25) —(28) моделируется электрической схемой, изображенной на рис. 8, а. Здесь было принято соответствие:

— скорости перемещения ук — току

— упругой податливости---------- емкости Ск.

QEJk

По второй системе аналогий система уравнений (25)—(28) моделируется схемой, изображенной на рис. 8,6. Здесь скорости

перемещения ук соответствует напряжение ик, угловой скорости

податливости--------- индуктивность Lh.

6EJk

23

Электрическая модель И. М. Тетельбаума (по первой и вто­ рой системам аналогии) позволяет исследовать полигармонпческие и переходные процессы. Ее основным достоинством является то, что она, в отличие от разностных схем, о которых бу­ дет сказано ниже, моделирует не приближенное, а точное урав­ нение, описывающее изгиб стержня.

мент массы. При этом электрическая модель И. М. Тетельбаума будет моделировать уже .не точные уравнения, а лишь прибли­ женные к уравнению (23), т. е. будет иметь тот же недостаток, что и конечно-разностные схемы.

Однако, как это будет видно в дальнейшем, звено разностной модели существенно проще звена электрической модели И. М. Тетельбаума.

Простотой схемы отличается электрическая модель, разрабо­ танная в Таганрогском Политехническом институте под руковод­ ством П. М. Чеголина [5]. Эта модель позволяет воспроизвести лишь одну форму колебаний плоской стержневой системы, что является ее недостатком, так как не позволяет провести анализ полигармонических процессов.

В основу модели положена система уравнений, являющихся частным решением уравнений (23) для одной формы колебаний. Модель колебаний прямого стержня представляет собой элек­ трический четырехполюсник, подбором параметров которого добиваются резонанса токов в его входной цепи. Матрица коэф­ фициентов четырехполюсника в этом случае совпадает с матри­ цей коэффициентов частного решения уравнения (23). Коэффи­

24

циенты решения уравнения (23) представляют собой известные функции Крылова. По найденным значениям функций опреде­ ляется собственная частота стержня.

В 1962 г. McNeal [16] в результате длительных исследований получил модель (рис. 9), которая позволяет произвести расчет полигармонических процессов одномерного изгиба с учетом рас­ пределенной массы.

Воснову модели было положено уравнение (23), записанное

впервом центрально-разностном приближении. При этом моде­

лируемый стержень разбивался на п участков длиной Дх = —,

п

где L— длина моделируемого стержня.

Автором была принята следующая система соответствий:

(все параметры отнесены к /г-тому участку разбиения).

При относительной простоте электрической схемы модель McNeal’a имеет невысокую точность решения.

В 1955 г. В. А. Лазаряном [7] была предложена электрическая модель крутильных колебаний стержня, описываемая уравне­

Ч

b.xJy.—* емкости Ch.

Электрическая модель крутильных колебаний, предложенная В. А. Лазаряном, обладает тем же недостатком, что и электриче­ ская модель изгибных колебаний McNeal’a.

Рассмотренные здесь электрические модели представляют не­ сомненный интерес для расчета поли- и моногармонических ко­ лебаний несложных плоских стержневых систем, крутильных и изгибных колебаний валов.

Непосредственное применение этих моделей для расчетов ко­ лебаний пространственных трубопроводных систем из-за ука­ занных выше недостатков не представляется возможным. Одна­ ко опыт исследований /в области динамики стержневых систем безусловно может быть учтен.

Использование электрической модели поперечных колебаний McNeal’a [16] и электрической’модели крутильных колебаний В. А. Лазаряна [7], которые представляют интерес для со­ здания электрической модели колебаний пространственных тру­ бопроводных конструкций, требует уточнения этих моделей.

25

Глава 2

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИЗГИБНЫХ И КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ ПРЯМОГО ОДНОРОДНОГО УЧАСТКА ТРУБОПРОВОДА

Выше отмечалось, что трубопроводные системы в общем слу­ чае совершают изгибные, крутильные и продольные колебания. Было показано, что изгибные и крутильные колебания трубопро­ вода с достаточной точностью описываются уравнениями (23)

и (24).

Как уже отмечалось, аналитический расчет колебаний трубо­ проводных систем превращается в чрезвычайно трудоемкую за­ дачу и поэтому требует применения вычислительных средств, наиболее приемлемым из которых оказывается электрическое моделирование.

Для нахождения электрических схем, моделирующих уравне­ ния (23) и (24), запишем их в более общем виде

ния трубопровода, являются частными случаями уравнения (29). Вполне очевидно, .что для электрического моделирования изгибных и крутильных колебаний трубопровода, необходимо синте­

дхг

приближением, а решение уравнения вида (29) на модели дол­ жно быть найдено в виде дискретных по х значений: ФДО.

27

Отметим лишь, что все они могут быть разделены на два класса по признаку шага интерполяции: интерполяции с иеравноотстоящими узлами и интерполяции с равноотстоящими узлами. Пос­ ледний метод более целесообразен для электрического модели­ рования колебаний трубопроводных систем, так как в этом слу­ чае значительно облегчается расчет элементов моделирующих цепей, упрощается набор задачи и работа оператора на электри­ ческой модели.

Если значения функции Фт для интерполяции вперед и назал известны лишь для целых значений т, то центральные разности можно вычислять для

т = ±0,5; ± 1,5;............... если г — нечетно,

-28