Файл: Кикин, А. И. Конструкции из стальных труб, заполненных бетоном.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 24.10.2024

Просмотров: 56

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

ветствеипо в сжатой и растянутой области стальной оболочки;

Фх— центральный угол, характеризующий границу между областями линейной и нелинейной пол­ зучести;

°л = 0,5о®; а2— краевое напряжение бетонного ядра на вогну­

той стороне среднего сечения (максимальное напряжение).

Параметры ß, ф, фЬ 0 выражаем через краевые де­

формации, используя

гипотезу

плоских сечений

(см.

рис. 50, а) :

 

 

 

 

ß =

arccos s2 — ei

 

 

 

 

e2 + ei ’

ЙВт

 

Ф =

arccos 63

 

 

 

еа + ej

 

( 162)

 

 

е2 — Ex —

2 EJ]

 

 

 

Фх =

arccos ■ е2 + Ех

 

0 =

arccos

е2 — вх + 2ет

 

 

 

е„+ ex

 

 

где е2) ех— краевые деформации соответственно

с во­

гнутой и выпуклой стороны сечения;

 

ел— деформации волокна, лежащего на грани­ це между областями линейной и нелиней­ ной ползучести.

Используя приближенное выражение для кривизны

и геометрические

соотношения,

находим связь

между

длиной, прогибом и краевыми деформациями:

 

J__ е2 + ех

дгУ\

 

тс*

(163)

Р “

2R

дх2 ]х=о

 

 

 

где f(t) — прогиб среднего сечения;

 

 

 

y = f(t) cos

т е х

 

 

 

 

L

*

 

 

Из (163) имеем

 

 

 

 

 

/ ( 0 =

^ ( е 2

+

Е і )

=

+ е і ) ;

(164)

 

L2

 

 

 

 

 

л 2

‘2R

'

 

 

Далее записываем условия равновесия половины стерж­ ня, отделенной средним сечением:

114-

M Bn = P(e + f); РБП = Р.

( 1 6 5 )

В соответствии с [78] уравнения движения стержня имеют вид

dM — dMaп ; dPnn — 0 .

( 1 6 6 )

Для данного случая из (166) получаем:

- Ркі-х =

(5/Ѵ/вн

двх ' е1 +

ЭМ ,

—е 2 +

Эе ,

 

дМт

ЭЛ'Івн

и2>

дРп

6ел Ел т

Зст3

дРы ■ ,дР

 

( 1 6 7 )

 

6л +

д&х

е 2

+

 

де.

дел

дРщ ст. = 0.

да.

Решая систему дифференциальных уравнений (167) сов­ местно с (158), получаем:

•

А3•—

А4А4

^

*

A i

1

- A , _

 

 

—

 

1

As-

А4Аі

+ А4;

Е ’

1

 

 

 

A i

Е

- А s

 

 

 

 

 

( 1 6 8 )

Р в,

1A3—

А4Аі

 

ч = —

[ Ах —

А2Е

 

Р е,

 

-^3 — А4Ах

Р е л « л

Р е, W4 2

1

 

 

Р Е ,

*

 

 

Т- А'

В(168) введены обозначения:

Р,

A ^ P k - M ^

tPk + M <

1Г РкМъ 1 Г

е, с.

( 1 6 9 )

Л3= М в 6л + —

ел Pk~ MËl ~р~ ел!

Ei

Ві

A4 = — f[a2(i)Wt.

8*

Ш

В (169) Ме , М ... — частные производные, определяе­ мые ниже;

= М ьße, +

M q>Фе, +

МФ, Фіе, +

M Q0e, =

 

 

ße2 +

Фе, +

Мф,Фіе, +

M QѲе. '■

 

Ре, =

Pß ße, + РФФе, +

РФ, Фіе, + РѲѲе, 1

 

Ре, =

Р |5 ße, +

Рф Фе, +

РФ, Фіег +

Р0 0е, !

 

М г„ — ЛѴ Фіе,"’ Рел = РФ, Ф іе'

 

ße.“ ---------- ß e ,= -

 

 

еі

 

(SI +

S„) у ejEsj

 

(So + ех) у

8]ё2

 

Фе. =

 

 

St> — 8-р

 

 

 

 

 

ег) УЧ 8т — 8і ет — 4

 

 

 

(8і+

+

Еі Ч

 

 

 

 

—

— Б-р

 

 

 

 

(еі +

е2)

У е2ет — e1 sT- e ;

+

s1 82

(170)

Фіе,=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(еі +

82)

82 ел -

Е18л -

8л +

8182

 

____________ — Si — 6л_____________

 

Фіе

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(81 +

8г) У Ч 8л -

818л -

8л +

81 82

 

Ѳг,=

 

 

So “I“ £т

 

 

 

 

 

 

Учч—8г 8Т +

 

 

 

 

( 8і +

8г )

е і ет — 8Т

 

(еі +

®2)

У Ч Ч — Ч Ч + Ч Ч — ‘

 

Фіе„— У чч -чч -е1+ >1 2

Частные производные Мß, УИф ... в (170) находим из выражений (160) и (161):

 

8

cos ф і sin3 ф

1

 

Mст2

„ я — ер* + —

і + — sin ф г

 

4 ---------------------------------

1 + cos cpt

--------:

(>71)

116

 

 

 

(я — (ft) cos фі +

sin фх cos2фі -]- — sin3фі

Ра, =

R2

 

 

 

и

 

 

1 +

cos фі

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Afp = R2toT

ф — sin (pcosqt — 0 + sin 0 cos 0

CF R3X

(cos ß — cos ф)3

sin ß— —

 

 

 

12

л

 

 

 

(cos ß — cos ф1)(соэ 4ß —

 

 

 

- 4 cos 2ß +

3) + ^2 sin 2фі —

sin 4фі —

 

 

X

— Зфі — 2 sin 2ß -f-

sin 4ß +

3ß) sin ß

 

 

 

 

(cos ß — cos фі)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м^

^

-

ая) Т х

 

 

(1 +

COS фі)^—1— —

sin4Фі+Scos2фі sin2фл+СОЭ 4фі I -f-

+

/

 

8

 

 

1

\

 

I Я

— фі + — cos фі Sin3фх + — sin 4фіІ sin фі

X

 

 

 

(1 -Ьсовф!)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

ал R3 X

 

(171)

 

 

 

 

12

 

 

 

(cos ß — cos фх)(4 cos 2фі — cos 4фх — 3) ■

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

— |2 sin 2фг— — sin 4фх—

 

 

 

 

- Зфі — 2 sin 2ß +

 

sin 4ß +

3ß) sin фі

 

X

Рф = 2 ^ а 7

(cos ß — cos фх)2

(cos ß — cos ф)(я — ф) sin ф — [я cos ß — sin ф + + (Ф — я) cos ф + sin 0 — Ѳcos 0] sin ф

(cos ß — cos ф)2

’

M'P= R2t1cTX

2 cos ß sin2ф — 2 cos ф sin2ф —

— (ф — Sin ф COS ф — 0 + sin 0 cos 0) sin ф

X

(cos ß — COS ф )2

— P 20 X

Фі 3 л

(cos ß — COS Фі)[3 sin2фх COS фі — 3 (фі — я) sin фх] —

— [sin3 фі — 3 sin фі + 3 (фі — я) COS ф! — sin3ß + '________ + 3 sjnß— 3 (ß — я) cos ß] sin фі

(cos ß — COS ф і ) 2

117

X

(1 -f- COS cpi)2

Рр = !У?/1ат Х

(cos ф — COS ß) 3t sin ß -f- [я cos ß — sin Ф +

 

 

X + (ф —-я) COS ф + sin 0 — 0 cos 0] Sin ß

f

3 R*oлХ (171)

 

(cos ß — COS ф)3

 

 

 

(cos ß — COS фх)[— 3 sin2ß COS ß + 3 (ß — я) sin ß] +

 

+ [sin3Ф і — 3 sin фі +3(ф! — я) COS Ф і —

sin3 ß +

X

-f- 3 sin ß — 3 (ß — я) cos ß] sin ß

 

(cos ß — COS фг)3

 

 

 

 

 

0 sin 0

Система уравнений движения (168) представляет со­ бой нормальную систему дифференциальных уравнений третьего порядка. Если принять основной закон нели­ нейной ползучести по Н. X. Арутюняну [3], то система дифференциальных уравнений движения имеет пятый порядок, а результаты расчетов мало отличаются от ре­ зультатов, полученных по вышеприведенным формулам. Вообще говоря, данный подход позволяет решать задачу с использованием любого закона нелинейной ползучести.

Для решения задачи Коши системы дифференциаль­ ных уравнений (168) задаемся тремя начальными усло­ виями, определяемыми из уравнений равновесия в мо­ мент загружения:

-ei(fo) — е0; вг(^о) — 620; оД^о) — П20 — Бго^о-

Сама задача Коши для системы (168) легко решается по стандартным программам, имеющимся на ЭВМ; в частности, в исследованиях [82] данная система реша­ лась на ЭВМ «Минск-22».

Определив кинематические уравнения движения, на­ ходим условие потери устойчивости стержня. В соответ­ ствии с [78] стержень теряет устойчивость, когда вариа­ ция момента внешних сил станет равной вариации мо-

118 .

мента внутренних сил при равенстве нулю вариации продольной осп:

0М = 6МПП; 6Р ВІ1 = 0.

(172)

В [83] показано, что этот критерий находится в соответ­ ствии с определением устойчивости (по А. М. Ляпуно­ ву). В данном случае условие (172) имеет вид:

P 6 f = ^ ^ ö ß

дМв

бф • дМв 6Ѳ +

ар

 

аф

 

дО

 

дМвп

,

дМ,

бст.

 

дРщ

афі

 

да,

дРв

(173)

■ дРвн

 

 

 

ар ■ер

аф бф •

аѳ

■60 +

дР.

- бфі + ■дРп

ба2 = О,

ö'Pi

 

 

Зст»

 

 

Варьируя условия совместности деформаций, запи­ сываемые в данном случае так же, как в главе III [фор­ мулы (81), (83)], имеем:

бф!

п sin ф

(п — 1) sin р

 

sin фх бф -

sin Cpj ■ep:

(174)

 

5 в _ А Ё + вр. sin cp

 

 

 

sin Ѳ

sin 0 бф.

 

Кроме того,

 

 

 

бст.2 — Е (/Кр) 6s2—Е (tКр)

ор бр + £(/Кр) бф'бф.

(175)

Используя уравнения (162), (164), прогиб среднего се­ чения f ( t ) и деформация ег выражаются через парамет­

ры ß и ср:

crTL2

 

1

 

 

.

 

 

(176)

 

n2ER

cos р —

cos ф

 

 

 

8о —6T

1 +

cos ß

,

(177)

 

cos p — COS ф

 

Варьируя (176) и (177), получим:

 

 

 

б/ = k B /ß 6 ß —

k B /ф бф;

(178)

 

бе2 = 8т s2ß6ß—ет е2ф бф.

(179)

где

 

 

 

 

 

 

_______sin ß

_

_______ sin ф

в ~ n2ER ß

(cos ß — COS ф)2 ’

ф

(cos ß — COS ф)2 ’

119

Смотрите также файлы