Файл: Кикин, А. И. Конструкции из стальных труб, заполненных бетоном.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.10.2024
Просмотров: 55
Скачиваний: 0
sin ß (1 + COS ф ) |
|
sin ф (1 + cos ß) |
(cosß — С О Э ф )2 ’ |
2ф |
(cos ß — COS ф ) 2 |
Однородная система уравнений (173) — (175), (178), (179) имеет нетривиальное решение, если ее определи тель, составленный из коэффициентов при вариациях, равен нулю. Раскрывая этот определитель, получаем функционал потерн устойчивости:
Ф = |
* +“—,l&**+* ^ +*'*'У |
X |
||||||||
|
|
|
; фі |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sin ф |
|
|
Sin ф |
|
|
|
||
|
X еф+ « — - Р . |
Фі |
0 |
sin 0 |
кр' |
-Ф |
|
|||
|
|
sin фі |
|
|
|
|||||
|
P ß + |
( l - n ) |
sin ß |
|
2 sinß |
|
|
X |
||
|
sin Фі Фі |
1 |
0 sin 0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
S i n cp |
|
|
|
|
|
|
|
= 0. |
X Ma>+ n ~ ---- M„— л-iQ . |
|
|
M<s>E0 (V б2ф _ |
Pf4 |
||||||
|
V |
sinsфі1 i1 1n.- |
^ ф* |
M° sinu 0S i+n |
(180) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Время |
потери устойчивости |
tKV дают те значения еі, |
|||||||
Бо, иг из решения нормальной системы дифференциаль ных уравнений (168), которые обращают функционал (180) в ноль. Если же (180) не обращается в ноль, то движение стержня в данных условиях является устой чивым.
3. Влияние ползучести на устойчивость составных колонн
Общий метод исследования устойчивости в условиях ползучести, разработанный в [78, 79, 83], позволяет ре шить задачу об устойчивости составных сквозных колонн при длительном загружении. Рассматривается двухтруб ная составная колонна (см. рис. 50, б) при внецентренном сжатии. Здесь используются те же допущения, что
ив предыдущем параграфе.
Всоответствии с рис. 50, б находятся главный вектор
иглавный момент сечения относительно оси х—х:
1 |
+ лЩ (а0 + а|) + |
Рвн = 2Ѵ 2°Ѵ л — — (sin ф — ф COS ф) |
|
+ — (h — R i —R2) b(Сто + стЯІ) + |
лR J i (а2Н— агін) + |
120
sin ß -|- (я — ß) cos ß — — sin3 ß
+ * ? < — |
|
— |
1 + cosß |
|
3 |
(181) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Man = R \t2 ~ |
(cp — sin cp cos cp) -I- |
|
— ^o) + |
|
||||
+ ~ п/?і /і (ст2н + |
|
стп.) + “j7T (Л — Rx — R2)2b (ф, — <?21|) + |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 (я — ß) + 2 sin ß — ——sin 4ß |
|
||||
- I - — — о 6 |
7 ? 3- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - |
|
||||||
12 |
2H |
1 |
|
|
1 + cos ß |
|
|
|
|
+ T |
|
A |
■2nRili (<T2II |
au,) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
sin ß -|- (я — ß) cos ß • |
- sin3 ß |
|
||||
|
|
|
|
|
1 + cos ß |
|
|
|
h + R« — R, |
|
1 |
|
|
|
|||
— —f---- |
- ■ |
|
— 2 ( l i - R i - R » ) |
b |
( o 0 + o 2ll) |
(182) |
||
|
h |
|
|
|||||
Все переменные в (181) п (182) выражаются через крае вые деформации еі и е?:
cp = arccos-е2Uh + Ц) — ST Uh + |
1+ |
Ц) — Si |
(183) |
|
|
е2+ 8і |
|
|
|
I = arccos ■1 |
е2т| — 8j Uh + |
О |
(184) |
|
11 |
еі + |
е2 |
|
|
|
6о — £2^2 — &\а\\ |
|
(185) |
||
где |
боп = |
62^11 — £|^22> |
(186) |
||
К -I- д — 1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
||
|
Л і + 1 + 1 1 |
’ ‘ 1 |
/(j |
-1- 1 + H |
|
|
2 і і |
|
l h |
+ 1 — |
11 |
L7U |
> h + P + 1 |
|
/ Ц + 1 + 1 1 |
||
Прогиб среднего сечения |
|
|
|
||
где |
f (0 = |
/г(еі + |
Ё2), |
|
(187) |
|
|
|
|
|
|
L2
к -= ■n"R2(hL+1+11)
121
Записываем уравнения движения:
Ркех+ Р/;е2 |
= |
дМвп • |
дМпн |
- |
, дA4 |
- % + |
|
||
ÖEi |
Si |
|
Е„- |
|
|||||
|
|
|
|
іЗе2 |
|
даі |
|
||
+ |
дМт |
•g |
дМгт ■g |
|
|
|
|
||
öoS |
|
|
■ст:2н J |
(1 — ѴіР)> |
|
||||
|
|
За;2н |
|
дРш, |
■, |
(188) |
|||
дРп |
|
дРщ |
|
дР™-Лб |
|
||||
|
|
|
|
||||||
де. |
Si + |
де. е2 + |
За!) а« + |
daS |
|
|
|||
|
|
|
дРв |
<п = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
Для связи |
между |
напряжениями, |
деформациями |
||||||
и временем в бетоне используется уравнение нелинейной
ползучести по И. И. Улицкому |
(можно |
использовать |
|
любой другой закон нелинейной ползучести): |
|||
~E6* + l t f И ^)]ф і = е2; |
1 |
||
-J- |
[ao (О] ФІ = ё0; |
[(18 |
|
~E 6*l+ T Bf Кн |
= |
|
|
Дифференцируя (185) и (186) по времени и решая их совместно с (188) п (189), получаем уравнения движе ния составного стержня в виде нормальной системы диф ференциальных уравнений пятого порядка:
|
|
|
|
ех= |
------------- ; |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
CCj Öo — 0С2 Ь\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
Ьз — &з bi |
|
|
|
|
|
|
|
|
е2 = |
----------------- ; |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
0*2 |
|
|
|
|
•ß= a,b3- ^ |
i E(t)_ AtEU). |
|
(190) |
||||||
|
|
|
Oxc?2 ~ |
|
bi |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
( |
a3b2 —a2 b3 |
Ctj |
aj &3 — йз &i |
. |
, ) r „4 |
|||||
I — |
|
|
|
|
cci b2— a ,b L |
G2— >»o ) ^ V ) |
||||
\ |
а хЬ2— CC2&1 |
|
|
j |
|
|||||
|
«3 b2&2 |
— |
a0^22 |
Ö63 |
fl«>2Л — |
«l 63 — a 3&i |
, |
\ |
n |
|
<4= |
j |
|
i all— ^ 2Н |
С V ) • |
||||||
ax 62 — a2bx |
" |
|
ax 62 — a, bx |
|
|
|
||||
122 •
В системе дифференциальных уравнений (190):
Az = ~ f И (0] ФІ;
Ао= J - f К(О ] Ф/; *-0
=[°2н <0 ] ф<;
«і = |
дМ,пи I _р/г__%0М„ |
|
|
|
дМв |
|
||||||||
дех |
|
|
|
s |
_ й аі- |
|
|
|
↔ 2 2 |
|||||
Ш в„ |
|
|
|
да» |
|
|
|
ctol2н |
|
|||||
|
|
дМцц |
Е (t) + |
дМй |
'«г~Ь |
дМв |
||||||||
Ко. = —— I — Pk —l |
ÖCTo |
|
|
|
|
«іі I; |
||||||||
öe„ |
|
|
|
|
|
|
|
ÖCTX |
да'2н |
|||||
ЗЛІвн |
1 |
|
|
0уИш, |
А0Е (і)+ |
|
дМ |
(191) |
||||||
«з = 1 —V |
Аа£ (0 + I |
öaX |
|
— f Л2Н£ ( 0 І ; |
||||||||||
до?2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
до$ |
|
||||
|
|
|
0Я„ |
<ЭЯвн |
йі |
дРвн |
öc> |
|
||||||
|
|
Ьі= |
Ö8j; |
да° |
|
_ |
|
|
||||||
|
|
|
|
да!2н |
|
|
||||||||
, |
|
<эя„- - вн |
, у5РП£ вн |
г. ... |
. |
дР пн |
|
|
. |
5 Р п |
|
|||
*2 = |
“ Г Г |
Л--------« |
Е ( 0 + |
~ |
|
« 2 |
|
+ |
Г- Г |
Я1Ь |
||||
|
|
öe2 |
дстХ |
|
|
|
dan |
|
|
|
да5 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2н |
|
, |
дРпн |
. . 0ЯВН . |
|
г. ... |
I ЗЯВН . |
п ... |
||||||||
ь%— |
Л 2 І0 ^ (О -Ь _ |
й 2?0£ (О -Ь |
|
|
й 2і2ц£ (Оі |
|||||||||
|
да» |
|
|
да» |
|
|
|
|
Зет;2н |
|
||||
|
|
|
|
;= |
1-Ті-Р. |
|
|
|
|
|
|
|||
Для получения кинематических уравнений движения решается задача Коши для системы (190) на ЭВМ при следующих начальных условиях при t0 — 0:
е1 (/о) = |
еІо! е2 (Іо) ~ 820і а 2 (if)) |
= «20 = 820 ^о! |
1 ( 192) |
|||
So (Іо) = |
S00 = |
S20 fff е10 «У> |
S211 (/0) = |
S2H0 = e20 fffi |
80 «22• I |
|
Частные производные в (191) отыскиваем исходя из |
||||||
(181) |
и (182). |
|
|
|
|
|
Имеем |
_б_ |
|
|
|
|
|
|
|
Бт |
ftj +1 + 11 |
(193) |
||
|
|
с |
е2 + ef |
|||
|
|
Я. |
|
|
||
По (193) находим öc/dei |
и дс!д&2. Далее выводим усло |
|||||
вие потери устойчивости стержня [82] из равенства ва
риаций моментов внешних и внутренних сил |
(0 = 0): |
Ш = GAU - 6МШРух, 6РШ= 0. |
(194) |
123