Файл: Власов, А. Г. Методы расчета эмиссионных электронно-оптических систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.10.2024
Просмотров: 70
Скачиваний: 0
ной катодной поверхности1. Таким образом, с одной стороны, па раметры изображения неустойчивы относительно малых вариаций поля у катода, с другой — апертуры электронных пучков, эмиттируемых катодом, велики (телесный угол начального раствора пучка достигает 2я). Эти две характерные особенности катодных линз и определяют все трудности вычисления свойств сформиро ванного в них изображения, а следовательно, и трудности решения прямой и обратной задач расчета таких систем.
Поэтому при расчете катодных систем для решения общих электронно-оптических задач требуются особые методы. Прежде всего это касается методов вычисления электромагнитного поля.
В электронно-лучевых приборах, использующих на входе ча стицы высокой энергии, поток электронов представляет собой уз кий луч. Поэтому поле точнее всего надо определять вблизи оси распространения луча (оси прибора), а естественным малым пара метром, по которому производится разложение физических харак теристик поля, является расстояние от этой оси.
В эмиссионных системах изображение формируют сравнительно широкие потоки электронов, испускаемых из области катода, сравнимой по величине с диаметром всей линзы. Ввиду неустой чивости траекторий (а следовательно, и свойств изображения) относительно вариаций поля вблизи эмиттера нужен такой метод вычисления потенциала, который обеспечивал бы точное значение последнего на поверхности катода, т. е. в области неустойчивости, и достаточно хорошую степень приближения в широкой прикатодной области. В этой последней приходится строить точное решение некоторой граничной задачи вплоть до поверхности электродов, форма которой может быть достаточно сложной.
Наибольшей универсальностью среди методов решения задач теории потенциала для области произвольной формы обладают се точные методы [10]. Ими большей частью и пользуются для рас чета поля электронно-лучевых приборов. Однако невязка, воз никающая при этом в уравнении Лапласа после ряда итераций, не является гармонической функцией. Это соответствует помещению зарядов в узлы сетки. В катодных линзах на этих фиктивных заря дах, возникающих из-за погрешностей вычислений вблизи катода, происходит рассеяние электронов при интегрировании уравнений движения. Поэтому при расчете поля катодных систем решение приходится строить в виде гармонической функции. Это заста вляет разрабатывать особые методы расчета поля катодных линз.
Когда рассчитывают электронные микроскопы и электронно лучевые приборы, то при выводе уравнения траектории естествен ным параметром малости, по которому ведут разложение, служит,
1 Например, в электронно-оптических преобразователях поверхность ка тода совпадает с поверхностью оптического изображения и в связи с этим не мо жет иметь большой отрицательной кривизны, необходимой для фокусировки электронного пучка в прикатодной области.
9
помимо расстояния луча от оси, также и угол его наклона к оси прибора. С учетом малости этого параметра строятся и все абер рационные формулы. В катодных линзах начальные апертуры, как уже отмечалось, велики. Соответственно наклон луча уже не
является |
естественным малым параметром уравнений движения |
в области |
неустойчивости — в непосредственной близости к ка |
тоду. Поэтому аберрационные интегралы, записанные в форме, удобной для расчета, например, электронных микроскопов, при расчете катодных систем вычисляются с большими трудностями и требуют особых приемов для выделения прикатодной области, определяющей, по существу, все свойства изображения.
В то же время естественным параметром малости в упомянутой области является начальная энергия частиц, что позволяет раз ложить ошибки изображения по степеням этого параметра и по лучить для катодных линз особые аберрационные формулы. Вы бор параметра малости определяет и специфические методы инте грирования уравнений движения. Тот факт, что прикатодная об ласть является зоной неустойчивости, позволяет в простой форме определить все свойства изображения через высшие производные поля в этой области, но переносит вычислительные трудности на задачу аппроксимации поля у катода.
Таким образом, эмиссионные системы требуют особого под хода и при аппроксимации поля, и при вычислении траекторий, и при определении ошибок изображения.
Использование эмиссионных приборов в качестве многоканаль ной системы передачи информации часто требует их работы в ре жиме сильных катодных токов. Это заставляет при расчете траек торий учитывать взаимодействие электронов между собой, равно как и взаимодействие объемного заряда и зарядов поверхности электродов. Обычно в лучевых приборах при этом используют метод последовательных приближений. Однако этот метод расхо дится, если плотность пространственного заряда создает режим, близкий к режиму «запирания» катода.
В эмиссионных системах с их малой энергией эмиттируемых электронов влияние объемного заряда в области неустойчивости, т. е. у катода, значительно, и итерационные методы часто плохо сходятся. Кроме того, одним из видов эмиссионных систем яв ляются радиотехнические системы, в которых граничные потен циалы значительно меняются за время пролета электронов. Для расчета их требуется решение нестационарной самосогласованной задачи, и итерационные процессы в этом случае неприменимы. Для вычисления режимов установления потока в таких системах, т. е. для решения нестационарной самосогласованной задачи, особенно перспективен метод «больших частиц» [79], подробно рассмотренный в § 22.
Г Л А В А I
ОБЩИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРО- И МАГНИТОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
В ЭМИССИОННЫХ СИСТЕМАХ
§ 1. Методы решения краевых задач на ЭВМ в гармонических функциях
Как уже отмечалось во введении, на определенном этапе реше ния прямой и обратной задач электронной оптики необходимо для определения свойств изображения' знать распределение в про странстве напряженностей электрического и магнитного полей.
Напряженность электрического поля Е удовлетворяет урав нению
Е = - V U , |
(1) |
где U — электростатический потенциал — решение первой крае вой задачи для уравнения Лапласа.
Так же определяется Н — напряженность магнитного поля
Н |
—ѴФ, |
(2) |
где Ф — магнитостатический |
потенциал. |
|
Так как требования, предъявляемые к изображению в электрон ной линзе, определяют собой сложное распределение электромаг нитного поля, то область, для которой приходится решать крае вую задачу, имеет, как правило, сложную форму. В этих случаях краевая задача может быть решена лишь приближенно.
Во введении мы обосновали целесообразность приближения потенциала в гармонических функциях. Остановимся на сущест вующих методах, позволяющих строить гармонические приближе ния к решению краевых задач теории потенциала. Рассматривать будем, как правило, области, обладающие осевой симметрией. Итак, в области D, ограниченной поверхностью S, ищут решение уравнения Лапласа
АU (М) = 0 |
(3) |
|
при условии на границе |
|
|
U\s = F(p), |
(4) |
|
где М — точка области; р |
точка на поверхности; |
F — непре |
рывная функция. |
|
|
11
Сведение задачи к интегральному уравнению первого рода.
В некоторых случаях решение задачи (3) записывают в виде по тенциала простого слоя
= |
(5) |
где р, (р') — поверхностная плотность заряда; г — расстояние от точки М до переменной точки поверхности р ' .
Используя граничные условия, получают интегральное урав нение первого рода относительно р (р')
FiP) = \ \ ± 4 - d s . |
(б) |
JSJ г РР |
|
При решении уравнения (3) иногда используют метод колокаций [45, 85]. В этом случае поверхность 5 исследуемой области D разбивают на N частей, причем в каждую из них помещают то чечный заряд qt. Потенциал в і'-й точке поверхности задают гра ничными условиями и записывают так:
|
(7) |
где |
і — 1, 2, . . ., іѴ; / принимает все значения 1 , 2 , . . . , Л/', кроме |
і = |
І> Гц — радиус-вектор из і-й точки в /-ю. Решая систему (7), |
определяют q а следовательно, и искомый потенциал в произ
вольной точке области |
D : |
|
и т = |
У |
± , j = l , 2 ........ N, |
|
" |
ГМІ |
где гщ — радиус-вектор из точки М в у-ю точку поверхности. Однако система (7) дает решение, неустойчивое относительно положения колокаций, особенно в местах излома поверхности S, где велики градиенты плотности заряда и поверхность трудно опи сывается системой точечных зарядов.
Известны [67 ] методы повышения устойчивости решения путем выделения особенности решения или непрерывного распростране ния граничных условий на сглаженную поверхность, близкую к S. Однако эти методы не исключают неустойчивость решения в слу чае формально гладких поверхностей с большой кривизной. Метод колокаций невозможно применять для расчета поля в областях большой протяженности, когда порядок системы (7) становится слишком высоким.
В случае гладких контуров и гладких граничных условий урав нение (6) решают методом последовательных приближений [68]. Однако при наличии кантов границы, т. е. особенностей решения, предложенные итерационные схемы неприменимы. В частном слу чае, когда известен характер такой особенности, последнюю можно
12