Файл: Власов, А. Г. Методы расчета эмиссионных электронно-оптических систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 24.10.2024

Просмотров: 77

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

координат. Выберем

некоторую

фиктивную поверхность S x,

соединяющую электроды /, I I и I II

так, что область Q, ограничен­

ная поверхностями I,

II и III, оказывается замкнутой.

Пусть имеется функция V (Л4), гармоническая вне области Q и удовлетворяющая на электродах заданным граничным условиям.

Аналогично функция U (М) удовлетворяет уравнению

Лапласа

внутри Q и граничным условиям на поверхностях I,

II и III.

Тогда, если выполняются условия

 

дѴ

 

U |S,

и

dU

I

(22)

дп

Is»

дп Si J

О

Рис.

1.

Сечение вспомогательной области

 

 

 

в электронной линзе

 

где п — нормаль

к

S x, то функция

 

 

 

I V (М), M £ Q ;

(23)

 

 

и (М) = {

 

 

1 u( M) ,MeQ .

 

является единственным решением поставленной задачи

(З)1.

Это обстоятельство дает возможность построить искомое ре­ шение задачи (3) во всей области определения путем построения приближенных решений уравнения Лапласа вне и внутри области Q и последующего «сшивания» их по формулам (22) на границе 5 Х.При этом решение внешней и внутренней задач должно удовлетворять заданным граничным условиям на поверхностях I, II к III.

Такой численный алгоритм удобно осуществить следующим образом. Допустим, что фиктивная поверхность описывается по­

средством функций

г

= г (А); 2 = 2 (А),

причем Ад ^

А «g Ад;

Обозначим

неизвестный

потенциал

на

поверхности

S x

через

Ф (А) и представим

его в

виде

 

 

 

 

 

Ф (А) =

фоѵ) +

ѵ — 1.2.

 

(24)

 

 

 

 

п=1

 

 

 

 

При этом индекс ѵ =

1 относится к 'первому разрыву,

ѵ =

2 —

ко второму;

имеет заданную особенность в первой производ­

1 См., в частности,

[73,

37], а также приложение 3; общая теория при­

ведена, например,

в работе

[39].

 

 

 

 

18

ной в точках разрыва поверхности [12 ] и удовлетворяет граничным

условиям на краях разрыва. Например, за фо!) целесообразно при­ нять [82 ]

 

2

arcsin

Ö — §!

Я

 

 

—

0 2 — ■»!

~2~'

 

 

л

 

 

Коэффициенты ап (п = 0, 1

, . .

N)

неизвестны;

{ф£ѵ)} (п =

= 1,2,

. . .) — ортонормированная на ['ö1, ■б’з ] система функций,

полная

в метрике С [ö^, ^ ]) .

 

 

 

Функцию U (М ) из формулы (23) при учете разложения (24)

можно

представить в виде

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

U (М) = и0(М) + £

апип(М), M eQ ,

(25)

 

 

П= 1

 

 

где и0 (М ) и ип (М) при п = 1, 2, . . ., N — гармонические при­ ближения к решению граничных задач

 

A«„(M) = 0,

MeQ;

 

 

«0 ІР) =

{І>оѴ)(р),

P £ S l,

-V= 1,

2;

(26)

 

 

F(P),

PeS;

 

 

 

 

 

Ды„(М) =

0,

MeQ;

 

I

 

P t Q,

 

 

 

n — 1,

 

ф Г (р),

V =

1,

2;

2, • • - N ; \ (27)

о, р е s

 

 

 

 

 

J

Совершенно аналогично представится функция V (/И) в формуле

(23)

N

 

V (М) = ѵ0 (М) 4- £ апѵп (М), Me Q,

(28)

п=1

 

где v0 (М) и ѵп (М) при п = I, 2, . . . , N — гармонические при­ ближения к решению граничных задач:

 

Ди0(М) =

0, MeQ]

 

»о (Р) ■

ІФоѵ,(Р)>

Р € ' v = 1,

2;

ІК(р), ре S;

 

 

 

MeQ;

 

ѵп (р) ■

 

n = 1,

2, .

 

 

 

іо, Pe s .

(29)

О CO

0, 1 , 2 , . . .), применим только что изложенный метод построения гармонического при­ ближения в области, включающей данную.

2

19

Для определения ип выберем, как и прежде, цилиндр, охваты­

вающий всю заданную

область, а для определения ѵп — цилиндр,

содержащийся внутри

системы электродов (см. рис. 1).

Алгоритм

вычисления каждой функции

из совокупности ип

(п — 1, 2, . .

., N) полностью изложен выше.

Что же касается вы­

числения ѵп, то заметим, что теорема, доказанная в приложении 1, может быть применена и для решения внешних краевых задач.

Системой

координатных

функций,

аналогичной

системе

(19),

в данном

случае является

 

 

 

 

 

»» =

( - 5 ^ - )

+

«

+ «!.

(31)

 

k= 1

 

 

 

 

 

 

где К о (х)

— функция

Макдональда

[11 ]. Эта

система обеспечи­

вает выполнение граничных условий на бесконечности.

 

Алгоритм вычисления

коэффициентов ^

полностью

повто­

ряет процесс определения аналогичных коэффициентов, описан­ ный выше при решении внутренней краевой задачи.

Разумеется, функции ѵп (п = 0, 1,2, . . ., N) представляют собой приближение к решению краевой задачи при граничных условиях (29) и (30) лишь вне области Q, тогда как функции ип являются тем же при тех же граничных условиях, но внутри об­ ласти Q.

Таким образом, выполнение граничных условий (26)—(30) автоматически обеспечивает приближенное сшивание решений на границе области и выполнение первого из условий (22).

Коэффициенты ап (п = 1 , 2 , . . . , N), определяемые так, чтобы выполнялось второе из граничных условий (22), должны миними­ зировать функционал

ВN( 0 )

дѵ0

ди0

dvk

_

\

(32)

 

дп S,

дп

дп S,

дп s

j

 

 

 

 

fc=l

 

 

 

При этом производная

- вычисляется внутри

Q, а

----

вне Q. Доказательство того, что минимизация функционала (32) в La (Sj) есть процесс регулярный и приводит к соответствующей системе линейных алгебраических уравнений, помещено в прило­ жении 3. Однако нужно помнить, что для вычисления vk и uk нельзя построить корректный процесс замыкания.

Использование метода Монте-Карло. Другим способом распро­ странения рассматриваемого алгоритма на задачи, в которых граничные условия заданы на поверхностях с разрывами, является сочетание аналитических и статистических методов.

Метод Монте-Карло, например, позволяет найти решение за­ дачи Дирихле в отдельно взятой точке внутри области [61,6, 7 ]. Задачу Дирихле в точке с применением случайной выборки решают

20

так. В трехмерном (в нашем случае) пространстве задают сетку координат с равномерным шагом іг. Первоначально выбирают точку с целочисленными координатами. Методом случайных испытаний выбирают номер координаты, по которой производят сдвиг на ве­ личину h, и знак направления сдвига. Так движение происходит до пересечения с границей.

Значение граничной функции F (<?,) в точке пересечения с грани­ цей запоминают, и движение начинают снова из начальной точки. Окончательное значение потенциала в точке р, из которой произво­ дились испытания, вычисггс’"^' по формуле

N

(з з )

Так можно вычислять потенциал в системе узлов на некоторой поверхности, соединяющей точки разрыва. По этим узлам интер­ полируют решение, после чего получают граничное условие на замкнутой поверхности, что дает право применить алгоритм, приведенный выше для замкнутых поверхностей вращения. При­ меняя метод статистических испытаний, следует, конечно, учиты­ вать, что реальная область незамкнута, в связи с чем ее надо замкнуть нулем, заданным на некоторой условной, разумно вы­ бранной поверхности, удаленной от электродов.

§ 2. Регуляризация общих методов решения краевых задач

При большой кривизне контура сечения, а также при больших градиентах граничных функций система (21) становится плохо обусловленной. Это проявляется обычно при больших М и яв­ ляется следствием некорректности процесса замыкания алго­ ритма. Чтобы повысить устойчивость процесса решения си­ стемы (21) и уменьшить погрешность в граничных условиях при заданном М, алгоритм полезно регуляризовать.

Понятие регуляризации некорректно поставленных задач вве­ дено в работах [65, 66]. Пусть существует решение уравнения

(Лф) (х) = U (х),

(34)

где А — вполне непрерывный оператор; U и ср — элементы метри­ ческих пространств F и Ф соответственно. Однако малым вариа­ циям U могут соответствовать сколь угодно большие изменения в определяемом решении <р ввиду того, что обратный оператор Л-1 неограничен. В нашем случае, где Л — матрица системы (21), это может произойти при УМ—>оо. В таких случаях приближенное решение задачи можно найти, ограничившись множеством функ­ ций определенного класса гладкости. Это множество опреде­ ляется параметром регуляризации а. Показано [65], что если <р существует на выбранном нами множестве, то параметр а можно

21

Смотрите также файлы