Файл: Власов, А. Г. Методы расчета эмиссионных электронно-оптических систем.pdf

выделить, что делает применимым метод последовательных при­ ближений [72]. Например, в одномерном случае уравнение (6) имеет вид

Введением функции g (t), содержащей особенности решения, и функции V (X) по формуле

v(x) = \K(x,t)g(t)dt

С

уравнение (8) сводится к уравнению

С

где U (t) — кусочно-непрерывная функция;

с ( х ,г ) = JЩ - К ( х , і у ,

Применение метода последовательных приближений к уравне­ нию (9) в случае кусочно-гладких контура и граничных условий

дает сходимость со скоростью ехр (—а ф^п), где п — число ите­ раций; а — постоянная.

Однако в упомянутом выше случае формально гладких поверх­ ностей с большой кривизной сходимость метода ухудшается.

Сведение задачи к интегральному уравнению второго рода.

При использовании метода Неймана—Боголюбова [30 ] решение задачи Дирихле отыскивается в виде потенциала двойного слоя. Пусть двумерная область D ограничена замкнутым контуром S:

X = X (s)

У = y(s)

13

основании (10) и (11) получать интегральное уравнение второго рода для определения р (s)

Для осесимметричных электростатических задач указанные урав­ нения принимают вид

Здесь гМр — радиус-вектор из точки М в точку р; S — поверх­ ность границы; пр — нормаль к S в точке р; ср (р) — неизвестная функция, удовлетворяющая уравнению [30, 36]

где

F{M) = \ \ f { p ) - ^ - - ± - d s p.

S р м р

В методе Крылова—Боголюбова предлагается заменить инте­ гралы в уравнениях (12)—(14) квадратурными (кубатурными) фор­ мулами. В работах [30, 36] показано, что к решению получаемой при этом алгебраической системы уравнений можно подойти мето­ дом последовательных приближений. В случае применения фор­ мулы Симпсона сходимость приближенного и точного решений про­ порциональна 1/п2, где п — число точек в квадратурной формуле. Метод обоснован для гладких поверхностей с конечной кривизной- и гладкими граничными условиями.

При расчете полей внутри областей, обладающих осевой сим­ метрией, интегралы по поверхности 5 в формуле (13) интегрируют по углу ф от 0 до 2л в цилиндрических координатах и тем самым приводят к интегралам (по контуру сечения области) в плоскости (р, z). Затем решают одномерное интегральное уравнение Фред­ гольма второго рода с ядром, имеющим особенности на кантах области. Такое преобразование для расчета электромагнитного поля электронно-оптических фокусирующих систем сделано, на­ пример, в работах [23, 46].

Использование канонической области. Применение рассмотрен­ ных методов к расчету поля катодных систем наталкивается на общую трудность; граничные условия выполняются лишь при­ ближенно на всех электродах. Это несущественно, если электрод не является эмиттером. В противном же случае, как уже указыва­ лось во введении, желательно точное выполнение граничных усло­ вий. В связи с этим авторы разработали метод построения прибли­ жений к решению задачи (3), свободный от указанного недостатка.

14

Этот метод применим для замкнутых поверхностей вращения с ку­ сочно-гладким меридиональным сечением контура; он прост в реа­ лизации. Для поверхностей, имеющих линии излома, предложен процесс регуляризации, обеспечивающий устойчивость решения.

Исходя из обоснованной в работах [30, 31, 42] возможности

к точному решению в виде функции, гармонической в некоторой фиксированной области G простой формы, содержащей исследуе­ мую область D. Выбор удобной канонической области G помогает построить относительно простой алгоритм решения задачи.

Показано [15 ], что точное решение задачи (3) в области D мо­ жет быть аппроксимировано в метрике С (D). При этом доказана следующая теорема1. Пусть D — ограниченная, вообще говоря, многосвязная область в пространстве Д 3 с границей, состоящей из конечного числа простых поверхностей Жордана. Тогда любую

функцию U, гармоническую в D и непрерывную в D, можно ап­ проксимировать в С (D) функциями Un (п — 1, 2, . . .), гармони­ ческими в области G, удовлетворяющей условиям, приведенным ниже: 1) G ZD D; 2) всякая компонента связности CG содержит внутреннюю точку; 3) всякая компонента связности CD содержит какую-либо компоненту связности CG.

Из приведенной теоремы следует также (см. замечание 1 в при­ ложении 1), что если области D и G имеют некоторый общий участок границы А, то справедливо равенство

где Un — гармоническое приближение к точному решению урав­ нения (3).

Последнее обстоятельство и является самым существенным при расчетах катодных электронно-оптических систем. В этом случае выбор области G, имеющей участок поверхности, совпа­ дающий с поверхностью фотокатода, приводит к точному выпол­ нению условия (15) на поверхности последнего. Это позволяет исключить неустойчивость вычисленных траекторий электронов вблизи фотокатода.

На основании изложенного возможен следующий алгоритм решения осесимметричной задачи Дирихле для области D с непре­ рывными граничными условиями F (р). Пусть меридиональное

ласти должна быть выбрана так, чтобы часть ее поверхности совпа­ дала с поверхностью катода. Для определенности рассмотрим по­ дробнее случай плоского катода, самый важный для практики. В этом случае в качестве области G выбирается цилиндр Q с осью Oz

1 Доказательство теоремы вынесено в приложение 1.

15

Согласно приведенной теореме, для любого е > 0 существует осе­

разделяются, и в качестве гармонического приближения к ре­ шению можно выбрать такую последовательность функций [30]:

где J 0 (x) я 10 (x) — функции Бесселя первого рода соответственно от вещественного и мнимого аргументов. По теореме, доказанной в приложении 1, f можно равномерно приблизить к U на цилиндре Q и тем самым, по принципу максимума модуля для гармонических функций, получить приближение к точному решению внутри ци­

способ не требует применения сложных алгоритмов. Заметим, что система (17) в общем случае неминимальна. Однако в рассмат­ риваемом нами практически важном случае, когда поверхность катода совпадает с границей вспомогательной области и справед­ ливо приведенное в приложении 1 замечание 1 к теореме, можно

Полнота этой системы вытекает из упомянутого замечания 1. Кроме того, эта система минимальна, что доказывается в прило­ жении 2. Без ограничения общности рассмотрения можно при­ нять потенциал катода равным нулю, а потенциал анода равным единице и совместить точки b и ß. Тогда d = 0; с = 1//. Для мини­

16

вышения точности алгоритма целесообразно задать также в точ­ ках s(- весовую функцию pL > 0 . Ее значения должны возрастать либо в точках, в которых возрастает кривизна контура меридио­ нального сечения области, либо в точках, где велик градиент граничной функции F (s). Обозначим согласно условию (4)

U (st) = F (sf) = Ft.

Координатные функции системы (19) в выбранных нами точках

обозначим через Aik . Тогда коэффициенты ф*0) определятся из условия минимума функции

Выполнение этого последнего условия равносильно решению

системы линейных алгебраических уравнений относительно ис- dßм

комых коэффициентов

Дифференцирование приводит к системе, симметричной отно­ сительно главной диагонали,

м

Обобщение на случай поверхностей с разрывами. Рассмотрен­ ный метод можно распространить и на тот случай, когда требуется рассчитать электромагнитное поле системы электродов, представ­ ляющих собой поверхность с разрывами. Этот случай можно свести к граничным задачам для односвязных областей, решаемым опи­ санными выше методами. Такой прием по существу является обоб­ щением метода переопределенных рядов, который будет рассмот­ рен в § 3.

Пусть, например, требуется найти в пространстве R 3 поле, формируемое системой электродов, меридиональное сечение кото­ рых изображено на рис. 1. Общую поверхность этой системы элек­ тродов обозначим через 5. Будем искать функцию U (г, г), которая непрерывна вместе с первой производной во всех точках простран­ ства вне S, удовлетворяет в этих точках уравнению Лапласа (3), а на 5 — условию (4) и убывает не медленнее, чем 1/р на бесконеч­

I гѴі^Лііотк; а * . ’