Файл: Власов, А. Г. Методы расчета эмиссионных электронно-оптических систем.pdf

Доопределим уравнение (443) на всей оси вещественных чисел, продолжив

где а > 0 — постоянная. Ту же операцию проделаем, заменив г на г и построив достаточно быстро убывающее продолжение g (г) первой из подынтегральных функций в уравнении (444),

Объединив (443) и (445) в одно уравнение, заданное на интервале 0 гс; z < оо, умножив обе его части на J 0 (р, Z) и проинтегрировав от 0 до оо, перейдем к равно­ сильному уравнению в силу единственности обратного преобразования. Действи­ тельно, проделанная нами операция сводится в силу условия / (0) = 0 к преоб­ разованию Ханкеля. В случае непрерывной, убывающей как 0 (1/z) функции обратное преобразование также непрерывно. Формальное на этом этапе опре­ деление функций А (X) и В (X) обеспечивает, как будет видно из дальнейшего,

172

о

а произведя в первом интеграле правой части уравнения (450) подстановку X =

Введем переменную x = p sin О. Так как уравнение Шлемильха имеет един­ ственное решение [11], равенство (452) справедливо, если выполняется равен­ ство

о

(454)

со

G (х, X) = Т0 (X) J F (X, г) cos zx dz-

о

F (X, z) определяется формулой (448).

Точно так же, объединив (444) и (446) в одно уравнение, заданное на интер­

ственности обратного преобразования Фурье. При этом непрерывность обрат­ ного преобразования обеспечивается условием g (0 ) = 0 , непрерывность функции g — характером ее убывания, а также непрерывностью А (X) и В (X), которые

1 e- (Я.+Р) > l ^ r < o o .

173

Если использовать значение разрывного интеграла [11]

то после перемены порядка интегрирования в выражении (455) получаем

о

и проделав преобразования, аналогичные изложенным выше при получении урав­ нения (453), получаем из (458)

Q (Я, г) определяется формулой (456).

Подстановка (460) в (453) приводит к уравнению Фредгольма второго рода с непрерывным ядром относительно А (х)

1 / а

К (X, у) = j G (л, Я) Н (Я, у) йЯ.

о

174

Уравнение (463) позволяет получить непрерывное решение методом последо­ вательных приближений или же построить резольвенту, если соблюдается ус­ ловие (см. например, [30])

Таким образом, уравнение (463) разрешимо методом последовательных при­ ближений, который сходится к непрерывному решению. Последнее можно пред­ ставить также рядом, сходящимся быстрее геометрической прогрессии со знаме­ нателем q, где q определяется по формуле (471). В (х) определяется по извест­ ному А (х) из (460). Оценки (466) и (468) показывают, что увеличивая а и ß, можно уменьшать величину q. Однако q ограничено снизу, в связи с чем при боль­ ших а

Приближающая потенциал функция ѵ (г, г) определяется по (442), так как, удовлетворяя уравнениям (453) и (460) сколь угодно точно в непрерывной ме­ трике, мы тем самым удовлетворяем (443) и (444), т. е. приближаем в той же ме­ трике граничные условия на цилиндре Ѳ. Заметим, что из (463) следует ограничен­ ность величины I А (х) |, а из (466) и (462) — ограниченность величины | В (х)/х |.

о

175

то дифференцирование уравнения (442) позволяет получить неравенство (440).

Список литературы

1. А р с е н и н В Я-, И в а н о в В. В. О решении некоторых интегральных уравнений I рода типа свертки методом регуляризации.— Журнал вычисли­ тельной математики и математической физики, 1968, № 2, с. 310—321.

5. Б а г л е т Р. Д., И с к о л ь д с к и й А . М., К у д р я ш о в М. И. и др. Электронно-оптический регистратор «спектр» как элемент системы автоматиза­

ние задачи Дирихле для уравнения Пуассона в трехмерной области с одновре­ менной оценкой градиента потенциала методом Монте-Карло. В кн.: «Методы расчета электронно-оптических систем». Новосибирск, «Наука», 1970, с. 912— 204.

7. Б л е й в а с И. М., С т е ф а н ю к Г. Р. К решению задачи Дирихле для уравнения Лапласа и Пуассона методом статистических испытаний. В кн.: «Вычислительные системы», т. «Численные методы расчета электронно-оптиче­

9. Б о н ш т е д т Б . Э . , Д м и т р и е в а Т . Г., Ц у к е р м а н И. И. К рас­ чету разрешающей способности электронно-оптического преобразователя с одно­ родными полями. — ЖТФ, 1956, т. 26, № 9, с. 1966—1968.

10.В а з о в В., Ф о р с а й т Дж. Разностные методы решения дифферен­ циальных уравнений в частных производных. М., Изд. иностр. литер., 1963, 487 с.

11.В а т с о н Г. Н. Теория бесселевых функций. М., Изд. иностр. литер., 1949, т. 1, 798 с.

№3, с. 498—501.

13.В л а с о в А. Г. Расчет полей простейших электростатических линз. — Изв. АН СССР, сер. физ., 1944, т. 8 , № 5, с. 240—242.

14.В л а с о в А. Г., К о с т о м е т о в Г. П., О р л о в Б. И. и др. О при­ ближенном расчете электростатических полей в эмиссионных электронно-опти­